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Transiente Wärmeleitungsanalyse

Dargestellt werden die Zeitdiskretisierung und das iterative Lösungsverfahren für die Wärmeleitungsanalyse von Festkörpern mit der Finite-Elemente-Methode (FEM). Zu den Kontinuums-Grundgleichungen und Randbedingungen siehe Wärmeleitungsgleichung.

Diskretisierte Gleichung (Ausgangspunkt)

Wird die Wärmeleitungsgleichung (Wärmeleitungsgleichung (gov_he_main)) mit dem Galerkin-Verfahren diskretisiert, ergibt sich

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

wobei

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Hier sind \(K\), \(M\), \(F\) und \(N\) die Wärmeleitungsmatrix (einschließlich konvektiver und radiativer Randbeiträge), die Massenmatrix, der thermische Lastvektor bzw. die Formfunktionsmatrix. Die Definitionen der Materialkennwerte (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) usw.) entsprechen der Wärmeleitungsgleichung.

Zeitdiskretisierung und iteratives Lösungsverfahren

Gleichung \(\eqref{eq:2.4.8}\) ist eine nichtlineare und transiente Gleichung. Wird die Zeit mit dem Rückwärts-Euler-Verfahren diskretisiert und ist die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=t_0\) bekannt, so wird die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=t_0+\Delta t\) mit der folgenden Gleichung berechnet.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Betrachtet wird ein Temperaturvektor, der Gleichung \(\eqref{eq:2.4.13}\) näherungsweise erfüllt, \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), um eine genauere Lösung \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) zu erhalten.

Dazu wird zunächst der Temperaturvektor wie folgt dargestellt.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Das Produkt aus Wärmeleitungsmatrix und Temperaturvektor, die Massenmatrix und die zugehörigen Terme werden wie folgt näherungsweise dargestellt.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Durch Einsetzen der Gleichungen \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) und \(\eqref{eq:2.4.16}\) in Gleichung \(\eqref{eq:2.4.13}\) und Vernachlässigen der Terme zweiter und höherer Ordnung erhält man

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Die Koeffizientenmatrix auf der linken Seite wird weiter mit der folgenden Gleichung näherungsweise ausgewertet.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Hier ist \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) die Tangentensteifigkeitsmatrix.

Damit kann die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=t_0+\Delta t\) durch iterative Berechnung mit der folgenden Gleichung bestimmt werden.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Insbesondere bei einer stationären Analyse wird die Iteration mit der folgenden Gleichung durchgeführt.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Bei einer transienten Analyse ist die Wahl des Zeitinkrements \(\Delta t\) im Allgemeinen keiner Größenbeschränkung unterworfen, da für die Zeitdiskretisierung ein implizites Verfahren verwendet wird. Ist das Zeitinkrement \(\Delta t\) jedoch zu groß, steigt die Anzahl der für die Konvergenz erforderlichen Iterationen. Im Allgemeinen erhöht ein zu großes Zeitinkrement \(\Delta t\) die Anzahl der Iterationen. In der Implementierung wird die Größe des Residuenvektors überwacht; bei langsamer Konvergenz wird \(\Delta t\) verkleinert, und bei geringer Iterationszahl wird \(\Delta t\) vergrößert (→ Einzelheiten siehe Schrittsteuerung).

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