Lewati ke isi

Analisis Konduksi Panas Transien

Bagian ini menyajikan diskretisasi waktu dan metode solusi iteratif untuk analisis konduksi panas benda padat menggunakan metode elemen hingga (FEM). Untuk persamaan pengatur dan kondisi batas kontinuum, lihat Persamaan Konduksi Panas.

Persamaan Terdiskretisasi (Titik Awal)

Mendiskretisasi persamaan konduksi panas (persamaan konduksi panas (gov_he_main)) dengan metode Galerkin menghasilkan

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

dengan

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Di sini, \(K\), \(M\), \(F\), dan \(N\) masing-masing adalah matriks konduksi panas (termasuk kontribusi batas konvektif dan radiatif), matriks massa, vektor beban termal, dan matriks fungsi bentuk. Definisi simbol sifat material (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), dan lain-lain) mengikuti Persamaan Konduksi Panas.

Diskretisasi Waktu dan Solusi Iteratif

Persamaan \(\eqref{eq:2.4.8}\) adalah persamaan nonlinear transien. Dengan menggunakan metode Euler mundur untuk diskretisasi waktu, jika temperatur pada waktu \(t=t_0\) diketahui, temperatur pada waktu \(t=t_0+\Delta t\) dihitung menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Pertimbangkan vektor temperatur yang secara pendekatan memenuhi Pers.\(\eqref{eq:2.4.13}\), yaitu \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), lalu memperbaikinya agar diperoleh solusi yang lebih akurat \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Untuk tujuan ini, pertama-tama nyatakan vektor temperatur sebagai berikut.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Hasil kali matriks konduksi panas dan vektor temperatur, matriks massa, serta suku-suku terkait didekati sebagai berikut.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Dengan mensubstitusikan Pers.\(\eqref{eq:2.4.14}\), Pers.\(\eqref{eq:2.4.15}\), dan Pers.\(\eqref{eq:2.4.16}\) ke dalam Pers.\(\eqref{eq:2.4.13}\), lalu mengabaikan suku orde kedua dan yang lebih tinggi, diperoleh persamaan berikut.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Matriks koefisien pada ruas kiri selanjutnya didekati menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Di sini, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) adalah matriks kekakuan tangen.

Pada akhirnya, temperatur pada waktu \(t=t_0+\Delta t\) dapat dihitung dengan melakukan perhitungan iteratif menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Khusus untuk analisis keadaan tunak, perhitungan iteratif dilakukan menggunakan persamaan berikut.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Dalam analisis transien, karena metode implisit digunakan untuk diskretisasi waktu, pemilihan inkrement waktu \(\Delta t\) pada umumnya tidak dikenai batasan besarannya. Namun, jika inkrement waktu \(\Delta t\) terlalu besar, jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi akan meningkat. Secara umum, inkrement waktu \(\Delta t\) yang terlalu besar meningkatkan jumlah iterasi. Dalam implementasinya, kontrol inkrement otomatis memantau besar vektor residual, mengurangi \(\Delta t\) ketika konvergensi lambat dan meningkatkan \(\Delta t\) ketika jumlah iterasi sedikit (→ lihat Kontrol Step untuk detail).

Topik Terkait