비정상 열전도 해석
유한요소법(Finite Element Method)을 이용한 고체 열전도 해석의 시간 이산화와 반복해법을 설명한다. 연속체의 지배방정식과 경계조건은 열전도 방정식 을 참조한다.
이산화 방정식(출발점)
열전도 방정식(열전도 방정식의 식 (gov_he_main) )을 Galerkin법으로 이산화하면,
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
단,
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
여기서 \(K\) , \(M\) , \(F\) , \(N\) 은 각각 열전도 행렬(경계 기여의 대류·복사 항 포함), 질량 행렬, 열하중 벡터, 형상함수 행렬이다. 물성 기호(\(\rho\) , \(c\) , \(k_x, k_y, k_z\) , \(Q\) , \(hc\) , \(hr\) 등)의 정의는 열전도 방정식 을 따른다.
시간 이산화와 반복해법
방정식 \(\eqref{eq:2.4.8}\) 은 비선형 비정상 방정식이다.
이제 시간에 대해 후진 Euler법으로 이산화하고, 시각 \(t=t_0\) 에서의 온도가 알려져 있을 때 시각 \(t=t_0+\Delta t\) 에서의 온도를 다음 식으로 계산한다.
\[\begin{equation}
K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t}
\label{eq:2.4.13}
\end{equation}\]
여기서 식 \(\eqref{eq:2.4.13}\) 을 근사적으로 만족하는 온도 벡터 \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\)
를 개선하여 더 정확한 해 \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) 을 구하는 것을 생각한다.
이를 위해 먼저 온도 벡터를 다음과 같이 나타낸다.
\[\begin{equation}
T_{t=t_0+\Delta t}=
T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\label{eq:2.4.14}
\end{equation}\]
열전도 행렬과 온도 벡터의 곱, 질량 행렬 등을 다음 식과 같이 근사적으로 나타낸다.
\[\begin{equation}
K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} =
K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} +
\frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) }
{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\label{eq:2.4.15}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M_{t=t_0+\Delta t} =
M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
+ \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}
\Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\label{eq:2.4.16}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.4.14}\) , 식 \(\eqref{eq:2.4.15}\) , 식 \(\eqref{eq:2.4.16}\) 을 식 \(\eqref{eq:2.4.13}\) 에 대입하고 2차 이상의 항을 생략하면 다음 식을 얻는다.
\[\begin{equation}
\bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t}
+ \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} }
{ \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} }
\frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t}
+ \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)}
{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg)
\Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\
= F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t}
- K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\label{eq:2.4.17}
\end{equation}\]
또한 좌변의 계수 행렬을 다음 식으로 근사 평가한다.
\[\begin{equation}
K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} +
\frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}}
= \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}
\label{eq:2.4.18}
\end{equation}\]
여기서 \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) 는 접선강성행렬이다.
결국 다음 식을 이용해 반복 계산을 수행함으로써 시각 \(t=t_0+\Delta t\) 에서의 온도를 계산할 수 있다.
\[\begin{equation}
K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}
\label{eq:2.4.19}
\end{equation}\]
특히 정상 해석에서는 다음 식을 이용해 반복 계산을 수행한다.
\[
K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)}
\]
\[\begin{equation}
T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)}
\label{eq:2.4.20}
\end{equation}\]
비정상 해석에서 시간 증분 \(\Delta t\) 의 선택은 시간 이산화에 음해법을 사용하므로 일반적으로 그 크기에 대한 제약을 받지 않는다. 다만 시간 증분 \(\Delta t\) 가 지나치게 크면 반복 계산의 수렴 횟수가 증가한다.
일반적으로 시간 증분 \(\Delta t\) 가 지나치게 크면 반복 횟수가 증가한다. 구현에서는 잔차 벡터의 크기를 감시하여 수렴이 느리면 \(\Delta t\) 를 줄이고, 반복 횟수가 적으면 \(\Delta t\) 를 늘리는 자동 증분 제어를 사용한다(→ 자세한 내용은 스텝 제어 참조).
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