물리량 기호 목록¶

이 페이지는 FrontISTR 이론 매뉴얼에서 사용하는 물리량의 기호를 일람한다. 표기 규칙(벡터·텐서의 굵은 글씨 표기, Einstein 축약 규약, Voigt 표기)에 대해서는 텐서 표기법과 수학적 기초를 참조하기 바란다.

배치·좌표계¶

기호	설명
\(\boldsymbol{X}\)	물질점의 기준 배치(초기 배치)에서의 위치 벡터(물질좌표)
\(\boldsymbol{x}\)	물질점의 현재 배치에서의 위치 벡터(공간좌표)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\)	운동 사상: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\)	기준 배치에서 물체가 차지하는 영역
\(\Omega\)	현재 배치에서 물체가 차지하는 영역
\(\Gamma_0\)	\(\Omega_0\)의 경계
\(\Gamma\)	\(\Omega\)의 경계
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\)	기하학적(변위) 경계: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)가 규정되는 현재 배치·기준 배치의 경계
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)	역학적 경계: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (또는 \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))가 규정되는 현재 배치·기준 배치의 경계
\(\boldsymbol{n}\)	현재 배치에서 면의 바깥쪽 단위 법선 벡터
\(\boldsymbol{N}\)	기준 배치에서 면의 바깥쪽 단위 법선 벡터
\(t\)	시각

규약: 기준 배치의 물리량에는 대문자 또는 아래첨자 \(0\)을, 현재 배치의 물리량에는 소문자를 할당한다.

시각과 증분(증분 해석)¶

기호	설명
\(\Delta t\)	시각 증분: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\)	시각 \(t\)에서의 물리량(앞쪽 위첨자). 예: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\)는 시각 \(t\)에서의 Cauchy 응력
\(^{t}\Omega\)	시각 \(t\)에서의 현재 배치 영역
\(^{t}\Gamma\)	시각 \(t\)에서의 현재 배치 경계

규약: 증분 해석에서는 시각 \(t\)까지의 상태를 기지값, 시각 \(t + \Delta t\)의 상태를 미지값으로 하여 구한다. 시각을 명시할 필요가 없는 경우에는 앞쪽 위첨자를 생략한다. 참조 배치로 기준 배치 \(\Omega_0\)을 선택하는 정식화를 Total Lagrange 법, 증분 시작 시의 현재 배치 \(^{t}\Omega\)를 선택하는 정식화를 Updated Lagrange 법이라고 한다.

변위·속도·가속도·체적력¶

기호	설명
\(\boldsymbol{u}\)	변위 벡터: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\)	기하학적 경계 \(\Gamma_B\)에서 규정되는 변위
\(\delta \boldsymbol{u}\)	가상 변위(시험함수): \(\Gamma_B\)에서 \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\)	속도 벡터: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\)	가속도 벡터: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\)	체적력(단위 질량당)
\(\boldsymbol{t}\)	표면력 벡터(단위 면적당): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\)	역학적 경계 \(\Gamma_t\)에서 규정되는 표면력(Neumann 데이터)

미분 연산자¶

기호	설명
\(\dot{(\cdot)}\)	물질 시간 미분(동일한 물질점을 추적한 시간 미분): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\)	기준 배치 구배(물질좌표 \(\boldsymbol{X}\)에 관한 구배): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\)	현재 배치 구배(공간좌표 \(\boldsymbol{x}\)에 관한 구배): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\)	대칭 구배 연산자: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

비고: \(\nabla_X\)와 \(\nabla_x\)는 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)로 관계지어진다. 아래첨자가 없는 \(\nabla\)는 문맥으로 배치를 판별하거나, 미소 변형 시와 같이 구별이 사라지는 경우에 사용한다.

변형 텐서¶

기호	설명
\(\boldsymbol{F}\)	변형 구배 텐서: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\)	체적 변화비: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\)	오른쪽 Cauchy-Green 변형 텐서: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\)	왼쪽 Cauchy-Green 변형 텐서: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\)	속도 구배 텐서: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\)	변형 속도 텐서(\(\boldsymbol{L}\)의 대칭 부분): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\)	스핀 텐서(\(\boldsymbol{L}\)의 반대칭 부분): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

변형률 텐서¶

기호	설명
\(\boldsymbol{E}\)	Green-Lagrange 변형률 텐서(기준 배치): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\)	Almansi 변형률 텐서(현재 배치): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\)	Almansi 변형률 텐서의 선형 부분(현재 배치의 대칭 변위 구배): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\)	미소 변형률 텐서(선형 근사): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

비고: \(\boldsymbol{E}\)는 Total Lagrange 법, \(\boldsymbol{D}\)는 Updated Lagrange 법에서 각각 주로 사용된다.

응력 텐서¶

기호	설명
\(\boldsymbol{\sigma}\)	Cauchy 응력 텐서(진응력, 현재 배치): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\)	제1 Piola-Kirchhoff 응력 텐서(공칭 응력): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\)	제2 Piola-Kirchhoff 응력 텐서(기준 배치, 대칭): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

각 응력 텐서 사이의 변환 관계:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

규약: Total Lagrange 법에서는 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange 법에서는 \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\)의 쌍을 사용한다.

밀도·질량¶

기호	설명
\(\rho\)	현재 배치에서의 질량 밀도
\(\rho_0\)	기준 배치에서의 질량 밀도

질량 보존법칙: \(\rho_0 = J\rho\).

재료 상수(선형 탄성체)¶

기호	설명
\(E\)	Young률(종탄성계수)
\(\nu\)	Poisson비
\(\lambda\)	Lamé 제1상수: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\)	Lamé 제2상수(전단탄성계수, 횡탄성계수): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)	탄성 텐서(4계): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), 성분 \(C_{ijkl}\)
\(D\)（또는 \(\hat{\tilde{C}}\)）	재료 행렬(Voigt 표기, 3차원에서는 \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

등방성 선형 탄성체의 탄성 텐서 성분:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

초탄성 재료¶

기호	설명
\(W(\boldsymbol{C})\)	탄성 포텐셜 함수(변형률 에너지 밀도 함수)
\(I_1, I_2, I_3\)	오른쪽 Cauchy-Green 텐서 \(\boldsymbol{C}\)의 주불변량
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\)	\(\boldsymbol{C}\)의 축소 불변량(체적 변화분을 분리)
\(C_1, C_2\)	Mooney-Rivlin 모델의 재료 상수
\(D\)	체적 탄성에 관한 재료 상수

탄소성 재료¶

기호	설명
\(\boldsymbol{D}^e\)	변형 속도 텐서의 탄성 성분
\(\boldsymbol{D}^p\)	변형 속도 텐서의 소성 성분
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\)	항복 함수
\(\kappa\)	소성 상태를 나타내는 내부 변수(등방 경화 변수)
\(\lambda^p\)	소성 승수(소성 변형률 속도 승수): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\)	소성 포텐셜(연관 유동법칙에서는 \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\)	등가응력(von Mises 응력 등)
\(\bar{\varepsilon}^p\)	등가소성변형률
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\)	등방 경화 함수

상보성 조건: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

유한요소법¶

기호	설명
\(\Omega^h, \Omega_0^h\)	유한요소 분할로 근사된 현재 배치·기준 배치의 영역: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\)	요소의 현재 배치·기준 배치에서의 영역
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\)	요소 경계 중 역학적 경계에 속하는 부분
\(\boldsymbol{r}\)	자연좌표(요소의 로컬 좌표)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\)	절점 \(\alpha\)에 대응하는 자연좌표의 점
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)	요소 \(e\)의 절점 \(\alpha\)에 대응하는 형상함수
\(n_e\)	요소의 구성 절점 수
\(n_g\)	전체 절점 수
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)	요소 절점 \(\alpha\)의 좌표·변위
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\)	요소 절점 좌표·변위 벡터: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) 등
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)	전체 절점 좌표·변위 벡터(절점 번호 → 자유도 순으로 배열)
\(\boldsymbol{B}\)	변형률-변위 관계 행렬(B 행렬)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)	형상함수 행렬: \(\boldsymbol{N}_\alpha\)는 절점 \(\alpha\)의 형상함수 \(N_\alpha^e\)를 대각에 배열한 \(d \times d\) 블록, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)	요소 강성 행렬
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)	요소 강성 행렬의 피적분항(기준 배치·현재 배치로 표기한 것): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\)（TL법），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL법）	요소 내력 벡터
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\)	요소 절점 \(\alpha\)에 작용하는 절점 외력 및 요소 절점 외력 벡터: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)	전체 내력 벡터·전체 외력 벡터: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\)도 동일
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)	전체 절점 \(i_g\)에서의 절점 내력·절점 외력(\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)의 절점 블록)
\(\boldsymbol{K}\)	전체 접선 강성 행렬: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) 블록 \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\)를 \(i_g\)행 \(i_h\)열에 배열한 행렬
\(\boldsymbol{R}_i\)	Newton-Raphson 반복에서의 잔차 벡터: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\)	Newton-Raphson 반복의 수정량(제 \(i\) 반복에서 선형방정식 \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)을 풀어 얻음)
\(i_g\)	전체 절점 번호(\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)	요소 \(e\)의 요소 내 절점 번호 \(\alpha\)에 대응하는 전체 절점 번호: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)	전체 절점 번호 \(i_g\)에 대응하는 \((e, \alpha)\) 쌍의 집합: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). 조립 연산에 사용
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)	전체 절점 번호 쌍 \((i_g, i_h)\)에 대응하는 \((e, \alpha, \beta)\) 조합의 집합: 강성 행렬 조립에 사용
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)	요소 구성 절점에 관한 첨자
\(i, j, k, l, \ldots\)	자유도에 관한 첨자(3차원에서는 \(1, 2, 3\))

고성능 요소·구조 요소¶

기호	설명
\(\bar{\boldsymbol{B}}\)	B-bar 법에서 체적부가 수정된 변형률-변위 관계 행렬(요소 중심에서 평가한 B 행렬로 체적 성분을 치환)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)	F-bar 법에서 체적부가 수정된 변형 구배: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)	요소 중심 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\)에서 평가한 변형 구배의 체적비: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)	비적합 모드 요소에서의 내부 자유도 벡터(요소 경계에서 연속성을 보장하지 않는 추가 변위 모드의 계수)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)	비적합 모드의 형상함수: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)	셸 요소의 판 두께
\(A\)	보 요소 단면의 단면적
\(I\)	보 요소 단면의 단면 2차 모멘트
\(G\)	전단탄성계수: \(G = E/[2(1+\nu)]\)