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Elenco dei simboli delle grandezze fisiche

Questa pagina elenca i simboli delle grandezze fisiche usati nel manuale teorico di FrontISTR. Per le convenzioni di notazione (grassetto per vettori e tensori, convenzione di sommatoria di Einstein e notazione di Voigt), vedere Notazione tensoriale e fondamenti matematici.

Configurazioni e sistemi di coordinate

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{X}\) Vettore posizione di un punto materiale nella configurazione di riferimento (iniziale) (coordinate materiali)
\(\boldsymbol{x}\) Vettore posizione di un punto materiale nella configurazione attuale (coordinate spaziali)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Mappa del moto: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Dominio occupato dal corpo nella configurazione di riferimento
\(\Omega\) Dominio occupato dal corpo nella configurazione attuale
\(\Gamma_0\) Confine di \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Confine di \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Confine geometrico (spostamento): confine nella configurazione attuale/di riferimento sul quale è prescritto \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Confine meccanico: confine nella configurazione attuale/di riferimento sul quale è prescritto \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (oppure \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vettore normale unitario uscente a una superficie nella configurazione attuale
\(\boldsymbol{N}\) Vettore normale unitario uscente a una superficie nella configurazione di riferimento
\(t\) Tempo

Convenzione: le grandezze fisiche nella configurazione di riferimento sono indicate con lettere maiuscole o con il pedice \(0\), mentre quelle nella configurazione attuale sono indicate con lettere minuscole.

Tempo e incrementi (analisi incrementale)

Simbolo Descrizione
\(\Delta t\) Incremento temporale: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Grandezza fisica al tempo \(t\) (apice sinistro). Esempio: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) è la tensione di Cauchy al tempo \(t\)
\(^{t}\Omega\) Dominio della configurazione attuale al tempo \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Confine della configurazione attuale al tempo \(t\)

Convenzione: nell’analisi incrementale, lo stato fino al tempo \(t\) è considerato noto e lo stato al tempo \(t + \Delta t\) viene determinato come incognito. L’apice sinistro viene omesso quando non è necessario indicare esplicitamente il tempo. Una formulazione che usa la configurazione di riferimento \(\Omega_0\) come riferimento è detta formulazione Total Lagrange, mentre una formulazione che usa come riferimento la configurazione attuale \(^{t}\Omega\) all’inizio dell’incremento è detta formulazione Updated Lagrange.

Spostamento, velocità, accelerazione e forza di massa

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{u}\) Vettore spostamento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Spostamento prescritto sul confine geometrico \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Spostamento virtuale (funzione di test): su \(\Gamma_B\), \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Vettore velocità: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vettore accelerazione: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Forza di massa (per unità di massa)
\(\boldsymbol{t}\) Vettore di trazione (per unità di area): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Trazione prescritta sul confine meccanico \(\Gamma_t\) (dato di Neumann)

Operatori differenziali

Simbolo Descrizione
\(\dot{(\cdot)}\) Derivata temporale materiale (derivata temporale seguendo lo stesso punto materiale): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradiente nella configurazione di riferimento (gradiente rispetto alle coordinate materiali \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradiente nella configurazione attuale (gradiente rispetto alle coordinate spaziali \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operatore gradiente simmetrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Nota: \(\nabla_X\) e \(\nabla_x\) sono legati da \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Il gradiente senza pedice, \(\nabla\), viene usato quando la configurazione è chiara dal contesto o quando la distinzione scompare, come nei problemi a piccole deformazioni.

Tensori di deformazione

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{F}\) Tensore gradiente di deformazione: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Rapporto di variazione del volume: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensore di deformazione destro di Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensore di deformazione sinistro di Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensore gradiente di velocità: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensore della velocità di deformazione (parte simmetrica di \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensore di spin (parte antisimmetrica di \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensori di deformazione

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{E}\) Tensore di deformazione di Green-Lagrange (configurazione di riferimento): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensore di deformazione di Almansi (configurazione attuale): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Parte lineare del tensore di deformazione di Almansi (gradiente simmetrico dello spostamento nella configurazione attuale): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensore delle piccole deformazioni (approssimazione lineare): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Nota: \(\boldsymbol{E}\) è usato principalmente nella formulazione Total Lagrange, mentre \(\boldsymbol{D}\) è usato principalmente nella formulazione Updated Lagrange.

Tensori delle tensioni

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensore delle tensioni di Cauchy (tensione vera, configurazione attuale): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Primo tensore delle tensioni di Piola-Kirchhoff (tensione nominale): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Secondo tensore delle tensioni di Piola-Kirchhoff (configurazione di riferimento, simmetrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relazioni di trasformazione tra i tensori delle tensioni:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Convenzione: la formulazione Total Lagrange usa la coppia \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mentre la formulazione Updated Lagrange usa la coppia \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densità e massa

Simbolo Descrizione
\(\rho\) Densità di massa nella configurazione attuale
\(\rho_0\) Densità di massa nella configurazione di riferimento

Conservazione della massa: \(\rho_0 = J\rho\).

Costanti del materiale (elasticità lineare)

Simbolo Descrizione
\(E\) Modulo di Young
\(\nu\) Coefficiente di Poisson
\(\lambda\) Prima costante di Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Seconda costante di Lamé (modulo di taglio): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensore di elasticità (quarto ordine): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componenti \(C_{ijkl}\)
\(D\) (oppure \(\hat{\tilde{C}}\)) Matrice del materiale (notazione di Voigt, \(6\times6\) in 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Componenti del tensore di elasticità per un materiale elastico lineare isotropo:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiali iperelastici

Simbolo Descrizione
\(W(\boldsymbol{C})\) Funzione potenziale elastica (funzione densità di energia di deformazione)
\(I_1, I_2, I_3\) Invarianti principali del tensore destro di Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invarianti ridotti di \(\boldsymbol{C}\) (separata la variazione volumetrica)
\(C_1, C_2\) Costanti del materiale del modello Mooney-Rivlin
\(D\) Costante del materiale relativa all’elasticità volumetrica

Materiali elastoplastici

Simbolo Descrizione
\(\boldsymbol{D}^e\) Componente elastica del tensore della velocità di deformazione
\(\boldsymbol{D}^p\) Componente plastica del tensore della velocità di deformazione
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funzione di snervamento
\(\kappa\) Variabile interna che rappresenta lo stato plastico (variabile di incrudimento isotropo)
\(\lambda^p\) Moltiplicatore plastico (moltiplicatore della velocità di deformazione plastica): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potenziale plastico (\(\Theta = F\) per una regola di flusso associata)
\(\bar{\sigma}\) Tensione equivalente (ad es. tensione di von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Deformazione plastica equivalente
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funzione di incrudimento isotropo

Condizione di complementarità: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metodo degli elementi finiti

Simbolo Descrizione
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domini nelle configurazioni attuale e di riferimento approssimati mediante discretizzazione agli elementi finiti: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Dominio dell’elemento nelle configurazioni attuale e di riferimento
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Parte del confine dell’elemento appartenente al confine meccanico
\(\boldsymbol{r}\) Coordinate naturali (coordinate locali dell’elemento)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punto nelle coordinate naturali corrispondente al nodo \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funzione di forma dell’elemento \(e\) corrispondente al nodo \(\alpha\)
\(n_e\) Numero di nodi che costituiscono un elemento
\(n_g\) Numero totale di nodi globali
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Coordinate e spostamento del nodo \(\alpha\) dell’elemento
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vettori delle coordinate e degli spostamenti nodali dell’elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), ecc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vettori globali delle coordinate e degli spostamenti nodali (ordinati per numero di nodo e quindi per grado di libertà)
\(\boldsymbol{B}\) Matrice della relazione deformazione-spostamento (matrice B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrice delle funzioni di forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) è, per il nodo \(\alpha\), un blocco con la funzione di forma \(N_\alpha^e\) disposta sulla diagonale, di dimensione \(d \times d\); \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrice di rigidezza dell’elemento
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandi della matrice di rigidezza dell’elemento (espressi nelle configurazioni di riferimento e attuale): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulazione TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulazione UL) Vettore delle forze interne dell’elemento
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Forza esterna nodale agente sul nodo \(\alpha\) dell’elemento e vettore delle forze esterne nodali dell’elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vettore globale delle forze interne e vettore globale delle forze esterne: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogamente per \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Forza interna nodale e forza esterna nodale al nodo globale \(i_g\) (blocchi nodali di \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matrice globale di rigidezza tangente: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrice ottenuta collocando il blocco \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) alla riga \(i_g\), colonna \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vettore residuo nell’iterazione di Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Correzione dell’iterazione di Newton-Raphson (all’iterazione \(i\), ottenuta risolvendo l’equazione lineare \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\))
\(i_g\) Numero del nodo globale (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Numero del nodo globale corrispondente, nell’elemento \(e\), al numero di nodo locale \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Insieme, per il numero di nodo globale \(i_g\), delle coppie \((e, \alpha)\) corrispondenti: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Usato nelle operazioni di assemblaggio
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Insieme, per la coppia di numeri di nodo globali \((i_g, i_h)\), delle terne \((e, \alpha, \beta)\) corrispondenti; usato per l’assemblaggio della matrice di rigidezza
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indici relativi ai nodi che costituiscono un elemento
\(i, j, k, l, \ldots\) Indici relativi ai gradi di libertà (\(1, 2, 3\) in 3D)

Elementi avanzati ed elementi strutturali

Simbolo Descrizione
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrice della relazione deformazione-spostamento con la parte volumetrica modificata mediante il metodo B-bar (la componente volumetrica viene sostituita dalla matrice B valutata al centro dell’elemento)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradiente di deformazione con la parte volumetrica modificata mediante il metodo F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Rapporto di volume del gradiente di deformazione valutato al centro dell’elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vettore dei gradi di libertà interni per un elemento a modi incompatibili (coefficienti dei modi di spostamento aggiuntivi che non impongono continuità sul confine dell’elemento)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funzioni di forma dei modi incompatibili: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Spessore dell’elemento shell
\(A\) Area della sezione trasversale di un elemento beam
\(I\) Secondo momento d’area della sezione trasversale di un elemento beam
\(G\) Modulo di taglio: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

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