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Liste des symboles des grandeurs physiques

Cette page répertorie les symboles des grandeurs physiques utilisés dans le manuel théorique de FrontISTR. Pour les conventions de notation (notation en gras des vecteurs et tenseurs, convention de sommation d’Einstein et notation de Voigt), voir Notation tensorielle et fondements mathématiques.

Configurations et systèmes de coordonnées

Symbole Description
\(\boldsymbol{X}\) Vecteur position d’un point matériel dans la configuration de référence (initiale) (coordonnées matérielles)
\(\boldsymbol{x}\) Vecteur position d’un point matériel dans la configuration actuelle (coordonnées spatiales)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Application du mouvement : \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domaine occupé par le corps dans la configuration de référence
\(\Omega\) Domaine occupé par le corps dans la configuration actuelle
\(\Gamma_0\) Frontière de \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Frontière de \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Frontière géométrique (déplacement) : frontière dans la configuration actuelle/de référence sur laquelle \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) est imposé
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Frontière mécanique : frontière dans la configuration actuelle/de référence sur laquelle \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ou \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) est imposé
\(\boldsymbol{n}\) Vecteur normal unitaire extérieur à une surface dans la configuration actuelle
\(\boldsymbol{N}\) Vecteur normal unitaire extérieur à une surface dans la configuration de référence
\(t\) Temps

Convention : les grandeurs physiques de la configuration de référence sont notées par des lettres majuscules ou un indice \(0\), tandis que celles de la configuration actuelle sont notées par des lettres minuscules.

Temps et incréments (analyse incrémentale)

Symbole Description
\(\Delta t\) Incrément de temps : \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Grandeur physique à l’instant \(t\) (exposant à gauche). Exemple : \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) est la contrainte de Cauchy à l’instant \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domaine de la configuration actuelle à l’instant \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Frontière de la configuration actuelle à l’instant \(t\)

Convention : en analyse incrémentale, l’état jusqu’à l’instant \(t\) est considéré comme connu et l’état à l’instant \(t + \Delta t\) est résolu comme inconnu. L’exposant à gauche est omis lorsqu’il n’est pas nécessaire d’indiquer explicitement le temps. Une formulation utilisant la configuration de référence \(\Omega_0\) comme référence est appelée formulation de Lagrange totale, tandis qu’une formulation utilisant comme référence la configuration actuelle \(^{t}\Omega\) au début de l’incrément est appelée formulation de Lagrange actualisée.

Déplacement, vitesse, accélération et force volumique

Symbole Description
\(\boldsymbol{u}\) Vecteur déplacement : \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Déplacement imposé sur la frontière géométrique \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Déplacement virtuel (fonction test) : \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vecteur vitesse : \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vecteur accélération : \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Force volumique (par unité de masse)
\(\boldsymbol{t}\) Vecteur de traction (par unité de surface) : \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traction imposée sur la frontière mécanique \(\Gamma_t\) (donnée de Neumann)

Opérateurs différentiels

Symbole Description
\(\dot{(\cdot)}\) Dérivée matérielle par rapport au temps (dérivée temporelle suivant le même point matériel) : \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient dans la configuration de référence (gradient par rapport aux coordonnées matérielles \(\boldsymbol{X}\)) : \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient dans la configuration actuelle (gradient par rapport aux coordonnées spatiales \(\boldsymbol{x}\)) : \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Opérateur gradient symétrique : \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Remarque : \(\nabla_X\) et \(\nabla_x\) sont reliés par \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Un gradient sans indice, \(\nabla\), est utilisé lorsque la configuration est claire d’après le contexte ou lorsque la distinction disparaît, comme dans les problèmes de petites déformations.

Tenseurs de déformation

Symbole Description
\(\boldsymbol{F}\) Tenseur gradient de déformation : \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Rapport volumique : \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tenseur de déformation de Cauchy-Green droit : \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tenseur de déformation de Cauchy-Green gauche : \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenseur gradient de vitesse : \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenseur de taux de déformation (partie symétrique de \(\boldsymbol{L}\)) : \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenseur de rotation (partie antisymétrique de \(\boldsymbol{L}\)) : \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenseurs de déformation unitaire

Symbole Description
\(\boldsymbol{E}\) Tenseur de déformation de Green-Lagrange (configuration de référence) : \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tenseur de déformation d’Almansi (configuration actuelle) : \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Partie linéaire du tenseur de déformation d’Almansi (gradient symétrique du déplacement dans la configuration actuelle) : \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenseur de déformation infinitésimale (approximation linéaire) : \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Remarque : \(\boldsymbol{E}\) est principalement utilisé dans la formulation de Lagrange totale, tandis que \(\boldsymbol{D}\) est principalement utilisé dans la formulation de Lagrange actualisée.

Tenseurs de contrainte

Symbole Description
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tenseur des contraintes de Cauchy (contrainte vraie, configuration actuelle) : \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Premier tenseur de Piola-Kirchhoff (contrainte nominale) : \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Second tenseur de Piola-Kirchhoff (configuration de référence, symétrique) : \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relations de conversion entre les tenseurs de contrainte :

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Convention : la formulation de Lagrange totale utilise la paire \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), tandis que la formulation de Lagrange actualisée utilise la paire \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Masse volumique et masse

Symbole Description
\(\rho\) Masse volumique dans la configuration actuelle
\(\rho_0\) Masse volumique dans la configuration de référence

Conservation de la masse : \(\rho_0 = J\rho\).

Constantes du matériau (élasticité linéaire)

Symbole Description
\(E\) Module de Young
\(\nu\) Coefficient de Poisson
\(\lambda\) Première constante de Lamé : \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Seconde constante de Lamé (module de cisaillement) : \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenseur d’élasticité (ordre quatre) : \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), components \(C_{ijkl}\)
\(D\) (or \(\hat{\tilde{C}}\)) Matrice de matériau (notation de Voigt, \(6\times6\) en 3D) : \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Composantes du tenseur d’élasticité pour un matériau élastique linéaire isotrope :

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Matériaux hyperélastiques

Symbole Description
\(W(\boldsymbol{C})\) Fonction de potentiel élastique (fonction de densité d’énergie de déformation)
\(I_1, I_2, I_3\) Invariants principaux du tenseur de Cauchy-Green droit \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invariants réduits de \(\boldsymbol{C}\) (variation volumique séparée)
\(C_1, C_2\) Constantes du matériau du modèle de Mooney-Rivlin
\(D\) Constante du matériau liée à l’élasticité volumique

Matériaux élastoplastiques

Symbole Description
\(\boldsymbol{D}^e\) Composante élastique du tenseur de taux de déformation
\(\boldsymbol{D}^p\) Composante plastique du tenseur de taux de déformation
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Fonction de plasticité
\(\kappa\) Variable interne représentant l’état plastique (variable d’écrouissage isotrope)
\(\lambda^p\) Multiplicateur plastique (multiplicateur du taux de déformation plastique) : \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potentiel plastique (\(\Theta = F\) pour une loi d’écoulement associée)
\(\bar{\sigma}\) Contrainte équivalente (p. ex. contrainte de von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Déformation plastique équivalente
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Fonction d’écrouissage isotrope

Condition de complémentarité : \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Méthode des éléments finis

Symbole Description
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domaines dans les configurations actuelle et de référence, approchés par discrétisation en éléments finis : \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domaine de l’élément dans les configurations actuelle et de référence
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Partie de la frontière de l’élément appartenant à la frontière mécanique
\(\boldsymbol{r}\) Coordonnées naturelles (coordonnées locales à l’élément)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Point en coordonnées naturelles correspondant au nœud \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Fonction de forme correspondant au nœud \(\alpha\) de l’élément \(e\)
\(n_e\) Nombre de nœuds constituant un élément
\(n_g\) Nombre total de nœuds globaux
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Coordonnées et déplacement du nœud \(\alpha\) de l’élément
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vecteurs de coordonnées nodales et de déplacements de l’élément : \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vecteurs globaux de coordonnées nodales et de déplacements (ordonnés par numéro de nœud puis degré de liberté)
\(\boldsymbol{B}\) Matrice de relation déformation-déplacement (matrice B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrice des fonctions de forme : \(\boldsymbol{N}_\alpha\) est un bloc \(d \times d\) dont la diagonale contient la fonction de forme \(N_\alpha^e\) du nœud \(\alpha\), et \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrice de rigidité élémentaire
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Intégrandes de la matrice de rigidité élémentaire (exprimées dans les configurations de référence et actuelle) : \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulation), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulation) Vecteur des forces internes de l’élément
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Force externe nodale agissant sur le nœud \(\alpha\) de l’élément, et vecteur des forces externes nodales de l’élément : \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vecteur global des forces internes et vecteur global des forces externes : \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); de même pour \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Force interne nodale et force externe nodale au nœud global \(i_g\) (blocs nodaux de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matrice de rigidité tangente globale : \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrice formée en plaçant le bloc \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) à la ligne \(i_g\) et à la colonne \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vecteur résiduel dans l’itération de Newton-Raphson : \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Correction dans l’itération de Newton-Raphson (obtenue en résolvant l’équation linéaire \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) à l’itération \(i\))
\(i_g\) Numéro de nœud global (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Numéro de nœud global correspondant au numéro de nœud local \(\alpha\) de l’élément \(e\) : \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Ensemble des paires \((e, \alpha)\) correspondant au numéro de nœud global \(i_g\) : \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilisé dans les opérations d’assemblage
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Ensemble des triplets \((e, \alpha, \beta)\) correspondant à la paire de numéros de nœuds globaux \((i_g, i_h)\) ; utilisé pour l’assemblage de la matrice de rigidité
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indices des nœuds constituant un élément
\(i, j, k, l, \ldots\) Indices des degrés de liberté (\(1, 2, 3\) en 3D)

Éléments avancés et éléments de structure

Symbole Description
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrice de relation déformation-déplacement dont la partie volumique est modifiée par la méthode B-bar (la composante volumique est remplacée par la matrice B évaluée au centre de l’élément)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient de déformation dont la partie volumique est modifiée par la méthode F-bar : \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Rapport volumique du gradient de déformation évalué au centre de l’élément \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) : \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vecteur des degrés de liberté internes pour un élément à modes incompatibles (coefficients de modes de déplacement supplémentaires n’imposant pas la continuité sur la frontière de l’élément)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Fonctions de forme des modes incompatibles : \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Épaisseur de l’élément coque
\(A\) Aire de la section transversale d’un élément poutre
\(I\) Moment quadratique de la section transversale d’un élément poutre
\(G\) Module de cisaillement : \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Rubriques connexes