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Fonctions de forme et approximation par éléments finis

Pour traiter numériquement la forme faible du principe des travaux virtuels, le domaine du corps est divisé en un nombre fini d’éléments, et les coordonnées des points matériels, le déplacement et la fonction test à l’intérieur de chaque élément sont interpolés à partir des valeurs nodales et des fonctions de forme. Les dérivées spatiales des fonctions de forme sont traitées dans Dérivées spatiales des fonctions de forme, la discrétisation de la forme faible dans Discrétisation du travail virtuel interne, et les formes spécifiques des fonctions de forme pour chaque type d’élément dans Système de numérotation des éléments et bibliothèque de fonctions de forme et les sections suivantes.

Partition du domaine et sommes d’intégrales par élément

Le domaine \(\Omega_0\) dans la configuration de référence et le domaine \(\Omega\) dans la configuration actuelle sont respectivement approchés par les unions des éléments \(\Omega^e_0\) et \(\Omega^e\) :

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) est le numéro d’élément et les frontières des éléments sont partagées entre éléments adjacents.) Cela décompose les intégrales de volume et de surface du principe des travaux virtuels en sommes d’intégrales sur les éléments individuels :

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Il en va de même pour la configuration actuelle en remplaçant \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) et \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Dans la suite, l’évaluation de la forme faible se ramène à la construction d’intégrales élément par élément.

Interpolation à l’aide des valeurs nodales et des fonctions de forme (éléments isoparamétriques)

Chaque élément \(\Omega^e_0\) possède \(n_e\) nœuds. Soient \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) les coordonnées dans la configuration de référence et les déplacements nodaux du nœud d’élément \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Les vecteurs nodaux de l’élément \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) et \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) sont formés en ordonnant ces valeurs ; pour l’élément \(e\), ils ne contiennent que les composantes des nœuds constituant l’élément, extraites des vecteurs nodaux globaux \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) est le nombre total de nœuds).

En utilisant comme paramètres les coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r}\), qui sont des coordonnées locales à l’intérieur de l’élément, les fonctions de forme \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolent les coordonnées matérielles, le déplacement et la fonction test à l’intérieur de l’élément au moyen des mêmes fonctions de forme (élément isoparamétrique et méthode de Galerkin) :

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Les fonctions de forme sont construites de manière à satisfaire les deux propriétés suivantes, et la géométrie de l’élément est choisie de sorte que l’application \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) des coordonnées naturelles vers les coordonnées matérielles soit bijective à l’intérieur de l’élément :

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) est le point en coordonnées naturelles correspondant au nœud \(\alpha\), et \(\delta_{\alpha\beta}\) est le delta de Kronecker.) La première équation garantit la reproduction d’une translation de corps rigide et la seconde garantit que la valeur interpolée coïncide avec la valeur nodale à chaque nœud. Les formes spécifiques de \(n_e\) et \(N_\alpha^e\) pour chaque type d’élément sont données dans Système de numérotation des éléments et bibliothèque de fonctions de forme et les sections suivantes. Afin d’éviter une notation trop lourde, la dépendance au type d’élément est représentée par l’exposant \(e\) associé à l’élément.

Avec les règles d’interpolation ci-dessus, l’intégrande de la forme faible peut être exprimé uniquement en fonction des valeurs nodales de l’élément \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) et de \(N_\alpha^e\). La déformation unitaire, en revanche, est déduite du déplacement interpolé et de la relation déformation-déplacement, tandis que la contrainte est déduite de cette déformation et de la loi de comportement du matériau ; ces grandeurs ne sont pas directement interpolées à partir des valeurs nodales. Elles sont évaluées aux points d’intégration dans l’élément (Intégration numérique).

Règle d’ordonnancement des vecteurs nodaux globaux

Les grandeurs physiques affectées aux nœuds sont rangées dans le vecteur nodal global dans l’ordre croissant numéro de nœud → degré de liberté. Si, au nœud \(\alpha\), la composante du degré de liberté \(i\) est notée \(u_{i\alpha}\), alors, respectivement en trois dimensions (\(i=1,2,3\)) et en deux dimensions (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Les coordonnées \(\boldsymbol{X}^n\) et la fonction test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) suivent le même ordre. Dans la suite, les développements sous forme matricielle et vectorielle sont présentés en prenant le cas tridimensionnel comme représentatif.

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