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Fluage

Ce chapitre décrit la loi de comportement de fluage adoptée par FrontISTR. Pour les détails concernant la sélection et les spécifications d’entrée, voir la section des fonctions 03_material.

Phénomène de fluage et décomposition additive des déformations

Le déplacement dépendant du temps sous une condition de contrainte constante est un phénomène appelé « fluage ».

Le comportement viscoélastique décrit ci-dessus peut également être considéré comme un type de phénomène de fluage linéaire. Nous décrivons ici plusieurs comportements de fluage non linéaires. Une approche courante consiste à formuler la relation constitutive en ajoutant ce comportement à la déformation qui apparaît instantanément, et à définir comme déformation de fluage \(\varepsilon^c\) la déformation accumulée pendant la durée où une charge constante donnée est maintenue. Une relation constitutive incluant le fluage est généralement exprimée à l’aide de la vitesse de déformation de fluage \(\dot{\varepsilon}^c\), définie comme une fonction de la contrainte et de la déformation de fluage totale.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Si la déformation apparaissant instantanément est la déformation élastique \(\varepsilon^e\), la déformation totale s’exprime comme la somme suivante incluant la déformation de fluage.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

où

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) est le tenseur d’élasticité).

Loi de Norton

Comme loi de comportement de fluage particulière, FrontISTR adopte le modèle de Norton suivant. Dans cette loi de comportement, la vitesse de déformation de fluage équivalente \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) est exprimée en fonction de la contrainte de von Mises \(q\) et du temps \(t\) comme suit.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Ici, \(A\), \(m\) et \(n\) sont des constantes matérielles.

Intégration temporelle et mise à jour des contraintes

Comme pour les matériaux plastiques, une méthode d’intégration temporelle numérique doit être spécifiée pour une loi de comportement présentant du fluage. La relation constitutive lorsque le fluage est pris en compte est

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

où \(\beta_{n+\theta}\) est

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

L’incrément de déformation de fluage \(\Delta \varepsilon^c\) est alors défini par l’équation non linéaire simplifiée suivante :

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

que l’on annule.

Dans l’itération de Newton-Raphson, en prenant \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) comme contrainte initiale et en utilisant l’incrément de déformation obtenu par la méthode des éléments finis, la solution itérative et l’incrément sont donnés par

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

où

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

avec Lorsque les itérations sont poursuivies jusqu’à ce que le résidu \(R\) devienne \(\mathbf{0}\), la contrainte \(\sigma_{n+1}\) et le module tangent

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

sont utilisés.

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