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Fluência

Este capítulo trata a lei constitutiva de fluência adotada pelo FrontISTR. Para detalhes sobre a seleção e a especificação de entrada, consulte a secção de funcionalidades 03_material.

Fenómeno de fluência e decomposição aditiva da deformação

O deslocamento dependente do tempo sob uma condição de tensão constante é um fenómeno denominado "fluência".

O comportamento viscoelástico descrito anteriormente também pode ser considerado um tipo de fenómeno de fluência linear. Aqui são descritos vários comportamentos de fluência não linear. Em geral, utiliza-se uma formulação constitutiva que adiciona este comportamento à deformação que ocorre instantaneamente, definindo-se como deformação de fluência \(\varepsilon^c\) a deformação acumulada durante a aplicação continuada de uma determinada carga constante. A relação constitutiva que considera a fluência é normalmente expressa através da taxa de deformação de fluência \(\dot{\varepsilon}^c\), definida como função da tensão e da deformação total de fluência.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Se a deformação que ocorre instantaneamente for a deformação elástica \(\varepsilon^e\), a deformação total é expressa como a soma seguinte, incluindo a deformação de fluência.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

onde

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) é o tensor de elasticidade).

Lei de Norton

Como forma concreta da lei constitutiva de fluência, o FrontISTR adota o seguinte modelo de Norton. Nesta lei constitutiva, a taxa de deformação de fluência equivalente \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) é expressa como função da tensão de von Mises \(q\) e do tempo \(t\), conforme indicado abaixo.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Aqui, \(A\), \(m\) e \(n\) são constantes do material.

Integração temporal e atualização das tensões

Tal como para materiais plásticos, é necessário especificar um método de integração temporal numérica para uma lei constitutiva que apresente fluência. A relação constitutiva quando se considera a fluência é

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

onde \(\beta_{n+\theta}\) é

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

A deformação incremental de fluência \(\Delta \varepsilon^c\) é definida pela equação não linear simplificada seguinte:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

é definido dessa forma.

Na iteração pelo método de Newton-Raphson, tomando \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) como valor inicial e utilizando o incremento de deformação obtido pelo método dos elementos finitos, a solução iterativa e o incremento são dados por

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

onde

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

é definido dessa forma. Quando se efetua a iteração até o resíduo \(R\) se tornar \(\mathbf{0}\), utilizam-se a tensão \(\sigma_{n+1}\) e o módulo tangente

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

são utilizados.

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