Verificação com modelo de geometria simples

Análise estática elástica

Esta verificação utiliza uma viga em consola discretizada em malha conforme mostrado na Figura 9.1.1. Foram realizadas análises para sete condições, exA a exG, variando as condições de carga apresentadas na Figura 9.1.2. O caso exG utiliza as mesmas condições de carga do exA, mas corresponde ao caso de verificação em que se utiliza um solver direto.

Os resultados de verificação de cada caso são apresentados nas Tabelas 9.1.1 a 9.1.7.

Figura 9.1.1 Exemplo de discretização da malha da viga em consola (elementos hexaédricos)

	(a) exA,G: carga concentrada
	(b) exD: gravidade
	(c) exB: carga distribuída na superfície
	(d) exE: força centrífuga
	(e) exC: carga volumétrica
	(f) exF: carga térmica

Item	Valor
módulo de Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Comprimento	\(L = 10.0\ mm\)
coeficiente de Poisson	\(\nu = 0.3\)
área da secção	\(A = 1.0\ mm^2\)
densidade de massa	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
segundo momento de área	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
aceleração gravítica	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
coeficiente de expansão térmica linear	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabela 9.1.2 Condições de verificação do modelo de viga em consola

Tabela 9.1.1 exA: resultados de verificação do problema de carga concentrada

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= -1.000\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nós / problema de estado plano de tensão
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nós / problema de estado plano de tensão
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nós / problema de estado plano de tensão
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nós / problema de estado plano de tensão
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nós
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nós
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nós
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nós
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nós
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nós
A731	40	-	-	-0.991	33 nós / método direto
A741	20	-	-	-0.996	33 nós / método direto

Tabela 9.1.2 exB: resultados de verificação do problema de carga distribuída na superfície

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= -3.750\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 nós / problema de estado plano de tensão
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 nós / problema de estado plano de tensão
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 nós / problema de estado plano de tensão
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 nós / problema de estado plano de tensão
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 nós
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 nós
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 nós
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 nós
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 nós
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 nós
B731	40	-	-	-3.722	33 nós / método direto
B741	20	-	-	-3.743	33 nós / método direto

Tabela 9.1.3 exC: resultados de verificação do problema de carga volumétrica

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nós / problema de estado plano de tensão
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nós / problema de estado plano de tensão
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nós / problema de estado plano de tensão
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nós / problema de estado plano de tensão
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nós
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nós
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nós
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nós
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nós
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nós
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 nós / método direto
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 nós / método direto

Tabela 9.1.4 exD: resultados de verificação do problema de gravidade

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nós / problema de estado plano de tensão
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nós / problema de estado plano de tensão
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nós / problema de estado plano de tensão
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nós / problema de estado plano de tensão
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nós
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nós
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nós
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nós
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nós
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nós
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 nós / método direto
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 nós / método direto

Tabela 9.1.5 exE: resultados de verificação do problema de força centrífuga

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 nós / problema de estado plano de tensão
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 nós / problema de estado plano de tensão
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 nós / problema de estado plano de tensão
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 nós / problema de estado plano de tensão
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 nós
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 nós
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 nós
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 nós
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 nós
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 nós
E731	40	-	-	2.619e-3	33 nós / método direto
E741	20	-	-	2.622e-3	33 nós / método direto

Tabela 9.1.6 exF: resultados de verificação do problema de carga de tensão térmica

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 nós / problema de estado plano de tensão
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 nós / problema de estado plano de tensão
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 nós / problema de estado plano de tensão
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 nós / problema de estado plano de tensão
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 nós
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 nós
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 nós
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 nós
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 nós
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 nós

Tabela 9.1.7 exG: resultados de verificação do método direto (problema de carga concentrada)

Nome do caso	Número de elementos		Valor previsto: δmax= -1.000		Observações
		NASTRAN	Software comercial	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nós / problema de estado plano de tensão
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nós / problema de estado plano de tensão
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nós / problema de estado plano de tensão
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nós / problema de estado plano de tensão
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nós
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nós
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nós
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nós
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nós
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nós
G731	40	-	-	-0.991	33 nós / método direto
G741	20	-	-	-0.996	33 nós / método direto

Análise estática não linear

(2-1) exnl1: análise não linear geométrica

O modelo de verificação do caso exI é idêntico aos modelos dos casos de verificação exA a exG. A Figura 9.1.3 apresenta um esquema conceptual do modelo de verificação. É efetuada uma análise geometricamente não linear deste modelo. Os resultados da verificação são apresentados na Tabela 9.1.8.

O cálculo não linear é efetuado em 10 passos de carga, com incremento de carga de 0.1P até à carga final de 1.0P.

Figura 9.1.3 Modelo de verificação

Tabela 9.1.8 exI: resultados de verificação (histórico da deflexão máxima)

Nome do caso	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Solução linear
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: análise de deformação elastoplástica

Este problema de verificação baseia-se em National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 from NAFEMS, e efetua uma análise de deformação elastoplástica que incorpora não linearidade geométrica e várias leis de endurecimento. A Figura 9.1.4 apresenta o modelo de análise.

Figura 9.1.4 Modelo de análise de deformação elastoplástica

(1) Condições de verificação

Item	Valor
Material	Material elastoplástico de Mises
módulo de Young	\(E = 250 GPa\)
coeficiente de Poisson	\(\nu=0.25\)
Tensão de cedência inicial	\(5 MPa\)
Deformação de cedência inicial	\(0.25\times10^{-4}\)
Coeficiente de endurecimento isotrópico	\(H_i = 0\) ou \(62.5 GPa\)

(2) Condições de fronteira

Item	Condição de fronteira	Valor
Passo 1	Deslocamento prescrito nos nós 2 e 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 2	Deslocamento prescrito nos nós 2 e 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 3	Deslocamento prescrito nos nós 3 e 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 4	Deslocamento prescrito nos nós 3 e 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 5	Deslocamento prescrito nos nós 2 e 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 6	Deslocamento prescrito nos nós 2 e 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 7	Deslocamento prescrito nos nós 3 e 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 8	Deslocamento prescrito nos nós 3 e 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Todos os nós não indicados aqui estão completamente restringidos. A solução teórica deste problema é a seguinte.

Deformação (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensão equivalente(\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Em comparação, os resultados do cálculo são os seguintes.

Deformação (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensão equivalente(\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Análise de contacto (1)

Este problema de verificação baseia-se no problema de patch test de contacto CGS-4 da National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), e testa a funcionalidade de contacto com deslizamento finito e atrito. A Figura 9.1.5 apresenta o modelo de análise.

Figura 9.1.5 Modelo de análise de contacto

A condição de equilíbrio deste problema é a seguinte.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

Na fase de atrito aderente, a força de atrito é [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] e, na fase de atrito com deslizamento, é [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] obtém-se este valor.

A comparação entre os resultados do cálculo e a solução analítica é a seguinte.

\(\mu\)	solução analítica de \(F/G\)	resultado calculado de \(F/G\)
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Análise de contacto (2): problema de contacto de Hertz

Nesta verificação, é analisado o problema de contacto de Hertz entre um cilindro de comprimento infinito e um plano infinito. O raio do cilindro é R=8mm, e o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson µ do corpo deformável são, respetivamente, 1100Mpa e 0.0. Além disso, assume-se que a área de contacto é suficientemente pequena em comparação com o raio do cilindro e, considerando também a simetria do problema, a análise é efetuada com um modelo de um quarto do cilindro.

Figura 9.1.6 Modelo de análise do problema de contacto de Hertz

(1) Resultados da verificação do raio de contacto

A fórmula teórica para calcular o raio de contacto é a seguinte:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

onde [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] obtendo-se este valor. Nas presentes condições de cálculo, quando a pressão é \(F=100\), o raio de contacto é \(a=1.36\).

A Figura 9.1.7 mostra as forças nodais equivalentes nos pontos de contacto. O raio de contacto é obtido extrapolando esta distribuição de forças nodais.

Figura 9.1.7 Distribuição das forças nodais equivalentes nos pontos de contacto

(2) Resultados da verificação da tensão de corte máxima

Na solução teórica, na posição de contacto [ z = 0.78a ] a tensão de corte máxima é [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] obtendo-se este valor. Nas presentes condições de cálculo, [ \tau_{\max} = 14.2 ] obtém-se este valor. Em comparação, [ \tau_{\max} = 15.6 ] foi obtido este resultado de cálculo.

Figura 9.1.8 Distribuição da tensão de corte (valor máximo=15.6)

(3) Análise modal

Os modelos de verificação dos casos exJ a exK são idênticos aos modelos dos casos exA a exG. A Figura 9.1.9 apresenta um esquema conceptual do modelo de verificação. É efetuada uma análise modal deste modelo. São calculados os valores próprios do 1.º ao 3.º modo. No caso exJ utiliza-se um solver iterativo, enquanto no caso exK se utiliza um solver direto. Os resultados da verificação são apresentados nas Tabelas 9.1.9 a 9.1.12.

Figura 9.1.9 Modelo de verificação

As frequências naturais da viga em consola são obtidas pelas seguintes equações.

1.º modo [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] 2.º modo [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] 3.º modo [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Os valores das propriedades do modelo de verificação são

Item	Valor
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Assim, os valores próprios até ao 3.º modo são os seguintes.

Número do modo	Valor
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabela 9.1.9 exJ: resultados de verificação com o método iterativo (valor próprio do 1.º modo)

Nome do caso	Número de elementos	Valor previsto: n1=3.609e3		Observações
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nós / problema de estado plano de tensão
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nós / problema de estado plano de tensão
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nós / problema de estado plano de tensão
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nós / problema de estado plano de tensão
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nós
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nós
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nós
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nós
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nós
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nós

Tabela 9.1.10 exJ: resultados de verificação com o método iterativo (valor próprio do 2.º modo)

Nome do caso	Número de elementos	Valor previsto: n2=2.262e4		Observações
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nós / problema de estado plano de tensão
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nós / problema de estado plano de tensão
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nós / problema de estado plano de tensão
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nós / problema de estado plano de tensão
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nós
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nós
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nós
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nós
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nós
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nós

Nota) Nos modelos tridimensionais, o 1.º e o 2.º valores constituem uma raiz dupla; por isso, o valor de 2.ª ordem indicado na tabela corresponde ao valor calculado de 3.ª ordem.

Tabela 9.1.11 exK: resultados de verificação com o método direto (valor próprio do 1.º modo)

Nome do caso	Número de elementos	Valor previsto: n1=3.609e3		Observações
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nós / problema de estado plano de tensão
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nós / problema de estado plano de tensão
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nós / problema de estado plano de tensão
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nós / problema de estado plano de tensão
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nós
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nós
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nós
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nós
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nós
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nós
J731	40	-	3.606e3	220 nós
J741	20	-	3.594e3	220 nós

Tabela 9.1.12 exK: resultados de verificação com o método direto (valor próprio do 2.º modo)

Nome do caso	Número de elementos	Valor previsto: n2=2.262e4		Observações
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nós / problema de estado plano de tensão
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nós / problema de estado plano de tensão
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nós / problema de estado plano de tensão
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nós / problema de estado plano de tensão
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nós
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nós
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nós
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nós
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nós
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nós
J731	40	-	2.156e4	220 nós
J741	20	-	2.153e4	220 nós

Nota) Nos modelos tridimensionais, o 1.º e o 2.º valores constituem uma raiz dupla; por isso, o valor de 2.ª ordem indicado na tabela corresponde ao valor calculado de 3.ª ordem.

(4) Análise de condução térmica

As condições comuns das análises de condução térmica em regime estacionário são apresentadas na Figura 9.1.10. As condições individuais dos casos de verificação exM a exT são apresentadas na Figura 9.1.11. A discretização da malha utilizada é equivalente à de exA.

As Tabelas 9.1.13 a 9.1.20 apresentam, para cada caso, as tabelas de distribuição de temperatura que constituem os resultados da verificação.

Comprimento AB	\(L = 10.0m\)
área da secção	\(A = 1.0 mm^2\)

Dependência da condutividade térmica em relação à temperatura

condutividade térmica \(\lambda(W/mK)\)	Temperatura \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Figura 9.1.10 Condições de verificação da análise de condução térmica em regime estacionário

exM:material linear
exN:problema de temperatura prescrita
exO:problema de fluxo térmico concentrado
exP:problema de fluxo térmico distribuído
exQ:problema de transferência de calor por convecção
exR:problema de transferência de calor por radiação
exS:problema de geração volumétrica de calor
exT:problema de gap interno

Figura 9.1.11 Condições de análise de cada caso de verificação

Tabela 9.1.13 exM: resultados de verificação do cálculo em regime estacionário com material linear

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabela 9.1.14 exN: resultados de verificação do problema de temperatura prescrita

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabela 9.1.15 exO: resultados de verificação do problema de fluxo térmico concentrado

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.16 exP: resultados de verificação do problema de fluxo térmico distribuído

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.17 exQ: resultados de verificação do problema de transferência de calor por convecção

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabela 9.1.18 exR: resultados de verificação do problema de transferência de calor por radiação

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabela 9.1.19 exS: resultados de verificação do problema de geração volumétrica de calor

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.20 exT: resultados de verificação do problema de gap interno

Nome do caso	Tipo de elemento	elementos/nós	distância a partir da extremidade A (m)
			Extremidade A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremidade B
Software comercial	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Análise dinâmica linear

No exW, foi efetuada uma análise dinâmica linear da mesma viga em consola considerada no item (1). A Figura 9.1.12 apresenta as condições de verificação. Aqui, para a mesma discretização de malha, verificou-se o efeito do incremento de tempo nos resultados. Como métodos de análise dinâmica, foram utilizados tanto o método implícito como o método explícito, com os tipos de elemento 361 e 342. Os resultados da verificação são apresentados na Tabela 9.1.22 e nas Figuras 9.1.13 a 9.1.15.

Modelo de análise

Histórico temporal da força externa F

Solução teórica para o deslocamento no ponto de excitação:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

onde

\[ F_0:Vetor\ constante \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Figura 9.1.12 Condições de verificação da análise dinâmica linear

Condições de verificação:

Comprimento	\(L\)	\(10.0\ mm\)
largura da secção	\(a\)	\(1.0\ mm\)
altura da secção	\(b\)	\(1.0\ mm\)
módulo de Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
coeficiente de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densidade	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
aceleração gravítica	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Força externa	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Elemento	Elemento hexaédrico linear
Elemento tetraédrico quadrático
Método de solução	método implícito
parâmetro do método Newmark-\(\beta\)\(\gamma\)	1/2
parâmetro do método Newmark-\(\beta\)\(\beta\)	1/4
método explícito
Amortecimento	Nenhum

Tabela 9.1.21 Condições de verificação da análise dinâmica linear (continuação)

Nome do caso	Tipo de elemento	Número de nós	Número de elementos	Método de solução	Incremento de tempo \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	método implícito	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	método implícito	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	método implícito	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	método implícito	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	método implícito	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	método implícito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	método explícito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	método explícito	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	método explícito	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	método explícito	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	método explícito	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	método explícito	1.0E-07

Tabela 9.1.22 exW: resultados de verificação da análise dinâmica linear de uma viga em consola

Nome do caso	Tipo de elemento	Número de nós	Número de elementos	Método	Deslocamento na direção z no instante t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	método implícito	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	método implícito	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	método implícito	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	método implícito	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	método implícito	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	método implícito	1.9753	divergiu
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	método explícito	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	método explícito	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	método explícito	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	método explícito	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	método explícito	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	método explícito	1.9753	divergiu

Figura 9.1.13 Diagrama de deformação e distribuição da tensão equivalente da viga em consola

(a) Tipo de elemento 361:método implícito

(b) Tipo de elemento 361:método explícito

Figura 9.1.14 Histórico temporal do deslocamento \(u_z\) no ponto de excitação

(a) Tipo de elemento 342:método implícito

(b) Tipo de elemento 342:método explícito

Figura 9.1.14 Histórico temporal do deslocamento \(u_z\) no ponto de excitação

Análise de resposta em frequência

Nesta verificação, é efetuada uma análise de resposta em frequência de uma viga em consola e a validação é realizada por comparação com os resultados de um software comercial de uso geral. O modelo de análise e as condições de verificação são apresentados abaixo.

Condições de análise:

módulo de Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
coeficiente de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densidade	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
aceleração gravítica	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Carga	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
parâmetro do amortecimento de Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
parâmetro do amortecimento de Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Figura 9.1.15 Modelo de análise (elemento tetraédrico linear (126 elementos, 55 nós))

Apresentam-se os valores próprios até ao 5.º modo e a resposta em frequência do ponto de excitação obtidos pela análise modal.

Modo	FrontISTR	Software comercial
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Figura 9.1.16 Dependência da intensidade do deslocamento no ponto de excitação em relação à frequência