Verificación mediante un modelo de geometría simple

Análisis estático elástico

Esta verificación utiliza una viga en voladizo mallada como se muestra en la Figura 9.1.1. Se realizaron análisis para siete casos, de exA a exG, variando las condiciones de carga como se muestra en la Figura 9.1.2. El caso exG tiene las mismas condiciones de carga que exA, pero utiliza un solver directo.

Los resultados de verificación de cada condición de carga se presentan en las Tablas 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Ejemplo de malla de viga en voladizo (elementos hexaédricos)

	(a) exA, G: Carga concentrada
	(b) exD: Gravedad
	(c) exB: Carga distribuida superficial
	(d) exE: Fuerza centrífuga
	(e) exC: Carga volumétrica
	(f) exF : Carga térmica

Elemento	Valor
Módulo de Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Longitud	\(L = 10.0\ mm\)
Coeficiente de Poisson	\(\nu = 0.3\)
Área de la sección	\(A = 1.0\ mm^2\)
Densidad de masa	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Segundo momento de área	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Aceleración de la gravedad	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Coeficiente de dilatación térmica lineal	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabla 9.1.2 Condiciones de verificación del modelo de viga en voladizo

Tabla 9.1.1: exA: Resultados de verificación del problema de carga concentrada

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= -1.000\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodos / problema en estado de tensión plana
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodos / problema en estado de tensión plana
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodos / problema en estado de tensión plana
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodos / problema en estado de tensión plana
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodos
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nodos
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodos
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodos
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodos
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodos
A731	40	-	-	-0.991	33 nodos / método directo
A741	20	-	-	-0.996	33 nodos / método directo

Tabla 9.1.2: exB: Resultados de verificación del problema de carga distribuida superficial

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= -3.750\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 nodos / problema en estado de tensión plana
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 nodos / problema en estado de tensión plana
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 nodos / problema en estado de tensión plana
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 nodos / problema en estado de tensión plana
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 nodos
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 nodos
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 nodos
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 nodos
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 nodos
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 nodos
B731	40	-	-	-3.722	33 nodos / método directo
B741	20	-	-	-3.743	33 nodos / método directo

Tabla 9.1.3: exC: Resultados de verificación del problema de carga volumétrica

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodos / problema de tensión plana
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodos / problema de tensión plana
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodos / problema de tensión plana
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodos / problema de tensión plana
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodos
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodos
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodos
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodos
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodos
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodos
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodos / método directo
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodos / método directo

Tabla 9.1.4: exD: Resultados de verificación del problema de gravedad

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodos / problema en estado de tensión plana
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodos / problema en estado de tensión plana
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodos / problema en estado de tensión plana
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodos / problema en estado de tensión plana
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodos
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodos
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodos
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodos
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodos
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodos
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodos / método directo
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodos / método directo

Tabla 9.1.5: exE: Resultados de verificación del problema de fuerza centrífuga

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 nodos / problema en estado de tensión plana
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 nodos / problema en estado de tensión plana
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 nodos
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 nodos
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 nodos
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 nodos
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 nodos
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 nodos
E731	40	-	-	2.619e-3	33 nodos / método directo
E741	20	-	-	2.622e-3	33 nodos / método directo

Tabla 9.1.6: exF: Resultados de verificación del problema de carga por tensión térmica

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 nodos / problema en estado de tensión plana
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 nodos / problema en estado de tensión plana
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 nodos / problema en estado de tensión plana
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 nodos / problema en estado de tensión plana
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 nodos
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 nodos
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 nodos
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 nodos
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 nodos
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 nodos

Tabla 9.1.7: exG: Resultados de verificación del método directo (problema de carga concentrada)

Nombre del caso	Número de elementos		Valor previsto: δmax= -1.000		Observaciones
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodos / problema en estado de tensión plana
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodos / problema en estado de tensión plana
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodos / problema en estado de tensión plana
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodos / problema en estado de tensión plana
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodos
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	52 nodos
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodos
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodos
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodos
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodos
G731	40	-	-	-0.991	33 nodos / método directo
G741	20	-	-	-0.996	33 nodos / método directo

Análisis estático no lineal

(2-1) exnl1: Análisis no lineal geométrico

El modelo de verificación del caso exI es idéntico a los modelos de los casos exA a exG. La Figura 9.1.3 muestra un esquema del modelo de verificación. En este modelo se realiza un análisis geométricamente no lineal. Los resultados de verificación se muestran en la Tabla 9.1.8.

El cálculo no lineal utiliza 10 pasos de carga con un incremento de 0.1P hasta la carga final de 1.0P.

Fig. 9.1.3 Modelo de verificación

Tabla 9.1.8 exI: Resultados de verificación (historial de la flecha máxima)

Nombre del caso	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Solución lineal
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Análisis de deformación elastoplástica

Este problema de verificación se basa en el Test NL1 de NAFEMS, de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), y realiza un análisis de deformación elastoplástica que incorpora no linealidad geométrica y varias reglas de endurecimiento. La Figura 9.1.4 muestra el modelo de análisis.

Fig. 9.1.4 Modelo de análisis de deformación elastoplástica

(1) Condiciones de verificación

Elemento	Valor
Material	Material elastoplástico de Mises
Módulo de Young	\(E = 250 GPa\)
Coeficiente de Poisson	\(\nu=0.25\)
Tensión de fluencia inicial	\(5 MPa\)
Deformación de fluencia inicial	\(0.25\times10^{-4}\)
Coeficiente de endurecimiento isótropo	\(H_i = 0\) o \(62.5 GPa\)

(2) Condiciones de contorno

Elemento	Condición de contorno	Valor
Paso 1	Desplazamiento prescrito en los nodos 2 y 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Paso 2	Desplazamiento prescrito en los nodos 2 y 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Paso 3	Desplazamiento prescrito en los nodos 3 y 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Paso 4	Desplazamiento prescrito en los nodos 3 y 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Paso 5	Desplazamiento prescrito en los nodos 2 y 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Paso 6	Desplazamiento prescrito en los nodos 2 y 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Paso 7	Desplazamiento prescrito en los nodos 3 y 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Paso 8	Desplazamiento prescrito en los nodos 3 y 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Todos los nodos no indicados aquí están completamente restringidos. La solución teórica de este problema es la siguiente.

Deformación (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensión equivalente (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

En comparación, los resultados del cálculo son los siguientes.

Deformación (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensión equivalente (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Análisis de contacto (1)

Este problema de verificación se basa en el problema CGS-4 de ensayo de parche de contacto de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), y verifica la capacidad de contacto con deslizamiento finito y fricción. La Figura 9.1.5 muestra el modelo de análisis.

Fig. 9.1.5 Modelo de análisis de contacto

La condición de equilibrio de este problema es la siguiente.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

En la etapa de adherencia por fricción, la fuerza de fricción es [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] y en la etapa de deslizamiento por fricción es [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

La comparación entre los resultados del cálculo y la solución analítica es la siguiente.

\(\mu\)	\(F/G\) Solución analítica	\(F/G\) Resultados del cálculo
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Análisis de contacto (2): problema de contacto de Hertz

Esta verificación analiza el problema de contacto de Hertz entre un cilindro infinitamente largo y un plano infinito. El radio del cilindro es R=8mm, y el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson µ del cuerpo deformable son 1100Mpa y 0.0, respectivamente. Se supone que el área de contacto es suficientemente pequeña respecto del radio del cilindro y, teniendo en cuenta la simetría del problema, se analiza un modelo de un cuarto de cilindro.

Fig. 9.1.6 Modelo de análisis del problema de contacto de Hertz

(1) Resultados de verificación del radio de contacto

La fórmula teórica para calcular el radio de contacto es la siguiente:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

donde [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . En las condiciones de cálculo actuales, cuando la presión es \(F=100\), el radio de contacto es \(a=1.36\).

La Figura 9.1.7 muestra las fuerzas nodales equivalentes en los puntos de contacto. El radio de contacto se obtiene extrapolando esta distribución de fuerzas nodales.

Fig. 9.1.7 Distribución de fuerzas nodales equivalentes en los puntos de contacto

(2) Resultados de verificación de la tensión cortante máxima

En la solución teórica, en la posición de contacto [ z = 0.78a ] la tensión cortante máxima es [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . En las condiciones de cálculo actuales, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . En comparación, el cálculo da [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Distribución de tensión cortante (valor máximo = 15.6)

(3) Análisis modal

Los modelos de verificación de los casos exJ y exK son idénticos a los modelos de los casos exA a exG. La Figura 9.1.9 muestra un esquema del modelo de verificación. En este modelo se realiza un análisis modal. Se calculan los valores propios del primero al tercero. El caso exJ utiliza un solver iterativo, mientras que el caso exK utiliza un solver directo. Los resultados de verificación se muestran en las Tablas 9.1.9 a 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Modelo de verificación

Las frecuencias naturales de la viga en voladizo se obtienen mediante las ecuaciones siguientes.

Primer modo [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Segundo modo [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Tercer modo [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Los valores de las propiedades del modelo de verificación son

Elemento	Valor
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Por tanto, los valores propios hasta el tercer modo son los siguientes:

Número de modo	Valor
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabla 9.1.9: exJ: Resultados de verificación del método iterativo con el primer valor propio

Nombre del caso	Número de elementos	Valor previsto : n1=3.609e3		Observaciones
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodos / problema en estado de tensión plana
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodos / problema en estado de tensión plana
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodos
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodos
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodos
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodos
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodos
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodos

Tabla 9.1.10: Resultados de verificación del método iterativo de exJ con el segundo valor propio

Nombre del caso	Número de elementos	Valor previsto : n2=2.262e4		Observaciones
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodos / problema en estado de tensión plana
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodos / problema en estado de tensión plana
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodos
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodos
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodos
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodos
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodos
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodos

Nota: En los modelos tridimensionales (3D), los valores primero y segundo tienen raíces iguales. Por tanto, el segundo valor de la tabla representa el tercer valor calculado.

Tabla 9.1.11: Resultados de verificación del método directo de exK con el primer valor propio

Nombre del caso	Número de elementos	Valor previsto : n1=3.609e3		Observaciones
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodos / problema en estado de tensión plana
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodos / problema en estado de tensión plana
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodos
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodos
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodos
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodos
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodos
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodos
J731	40	-	3.606e3	220 nodos
J741	20	-	3.594e3	220 nodos

Tabla 9.1.12: Resultados de verificación del método directo de exK con el segundo valor propio

Nombre del caso	Número de elementos	Valor previsto : n2=2.262e4		Observaciones
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodos / problema en estado de tensión plana
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodos / problema en estado de tensión plana
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodos / problema en estado de tensión plana
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodos
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodos
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodos
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodos
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodos
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodos
J731	40	-	2.156e4	220 nodos
J741	20	-	2.153e4	220 nodos

Nota: En los modelos 3D, los valores primero y segundo tienen raíces iguales. Por tanto, el segundo valor de la tabla representa el tercer valor calculado.

(4) Análisis de conducción de calor

Las condiciones comunes de los análisis de conducción de calor en estado estacionario se muestran en la Figura 9.1.10. Las condiciones individuales de los casos de verificación exM a exT se muestran en la Figura 9.1.11. La división de la malla es equivalente a la utilizada para exA.

Los resultados de verificación (tabla de distribución de temperatura) de cada caso se presentan en las Tablas 9.1.13–9.1.20.

Longitud entre AB	\(L = 10.0m\)
Área de la sección transversal	\(A = 1.0 mm^2\)

Dependencia de la conductividad térmica con la temperatura

Conductividad térmica \(\lambda(W/mK)\)	Temperatura \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Fig. 9.1.10: Condiciones de verificación del análisis de conducción de calor estacionario

exM: Material lineal
exN: Problema de temperatura prescrita
exO: Problema de flujo de calor concentrado
exP: Problema de flujo de calor distribuido
exQ: Problema de transferencia de calor por convección
exR: Problema de transferencia de calor por radiación
exS: Problema de generación volumétrica de calor
exT: Problema de hueco interno

Fig. 9.1.11: Condiciones de análisis de cada caso de verificación

Tabla 9.1.13: Resultados de verificación de exM (cálculo estacionario de material lineal)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabla 9.1.14: Resultados de verificación de exN (problema de temperatura prescrita)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabla 9.1.15: Resultados de verificación de exO (problema de flujo de calor concentrado)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabla 9.1.16: Resultados de verificación de exP (problema de flujo de calor distribuido)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabla 9.1.17: Resultados de verificación de exQ (problema de transferencia de calor por convección)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabla 9.1.18: Resultados de verificación de exR (problema de transferencia de calor por radiación)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabla 9.1.19: Resultados de verificación de exS (problema de generación volumétrica de calor)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabla 9.1.20: Resultados de verificación de exT (problema de hueco interno)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Elementos/nodos	Distancia desde el extremo A (m)
			Extremo A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extremo B
Comercial	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

(5) Análisis dinámico lineal

En exW se realiza un análisis dinámico lineal sobre la misma viga en voladizo que en el apartado (1). La Figura 9.1.12 muestra las condiciones de verificación. Para la misma división de malla, se verifica el efecto del incremento de tiempo sobre los resultados. Se utilizan métodos de integración temporal tanto implícitos como explícitos, con los tipos de elemento 361 y 342. Los resultados de verificación se muestran en la Tabla 9.1.22 y en las Figuras 9.1.13 a 9.1.15.

Modelo de análisis

Historial temporal de la fuerza externa F

La solución teórica para el desplazamiento del punto de vibración es la siguiente:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

donde

\[ F_0:Vector\ constante \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12: Condiciones de verificación del análisis dinámico lineal

Condiciones de verificación:

Longitud	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Anchura de la sección transversal	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Altura de la sección transversal	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Módulo de Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Coeficiente de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densidad	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Aceleración de la gravedad	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Fuerza externa	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Elemento	Elemento hexaédrico lineal
Elemento tetraédrico de segundo orden
Solución	Método implícito
Parámetro \(\gamma\) del método de Newmark-\(\beta\)	1/2
Parámetro \(\beta\) del método de Newmark-\(\beta\)	1/4
Método explícito
Amortiguamiento	Ninguno

Tabla 9.1.21: Condiciones de verificación del análisis dinámico lineal (continuación)

Nombre del caso	Tipo de elemento	N.º de nodos	N.º de elementos	Solución	Incremento de tiempo \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Método implícito	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Método implícito	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Método implícito	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Método implícito	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Método implícito	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Método implícito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Método explícito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Método explícito	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Método explícito	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Método explícito	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Método explícito	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Método explícito	1.0E-07

Tabla 9.1.22: Resultados de verificación del análisis dinámico lineal de exW (voladizo)

Nombre del caso	Tipo de elemento	Número de nodos	Número de elementos	Método	Desplazamiento en dirección z en el instante t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Método implícito	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Método implícito	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Método implícito	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Método implícito	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Método implícito	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Método implícito	1.9753	Divergió
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Método explícito	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Método explícito	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Método explícito	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Método explícito	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Método explícito	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Método explícito	1.9753	Divergió

Fig. 9.1.13: Diagrama de deformación y distribución de tensión equivalente de la viga en voladizo (W361_c0_im_m2_t2)

(a) Tipo de elemento 361 : Método implícito

(b) Tipo de elemento 361: Método explícito

Fig. 9.1.14 Historial temporal del desplazamiento del punto de excitación \(u_z\)

(a) Tipo de elemento 342: Método implícito

(b) Tipo de elemento 342: Método explícito

Fig. 9.1.14: Historial temporal del desplazamiento del punto de vibración \(u_z\)

Análisis de respuesta en frecuencia

En esta verificación se realiza un análisis de respuesta en frecuencia de una viga en voladizo y se valida mediante comparación con los resultados de un solver comercial de propósito general. A continuación se muestran el modelo de análisis y las condiciones de verificación.

Condiciones de análisis:

Módulo de Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Coeficiente de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densidad	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Aceleración de la gravedad	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Carga	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Parámetro de amortiguamiento de Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
Parámetro de amortiguamiento de Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Fig. 9.1.15 : Modelo de análisis (elemento tetraédrico de primer orden (126 elementos y 55 nodos))

Los valores propios hasta el quinto orden y la respuesta en frecuencia de los puntos de vibración obtenidos mediante el análisis de valores propios son los siguientes:

modo	FrontISTR	Comercial
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Fig. 9.1.16 : Dependencia con la frecuencia de la amplitud de desplazamiento de los puntos de vibración