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Análisis de respuesta en frecuencia

Formulación del problema

El análisis de respuesta en frecuencia evalúa la amplitud y la fase de la respuesta en estado estacionario de un sistema en el dominio de la frecuencia cuando la fuerza externa varía armónicamente con el tiempo. Como la ecuación de movimiento gobernante se trata de manera diferente con y sin amortiguamiento, este capítulo obtiene primero los modos propios a partir de la vibración libre sin amortiguamiento y después los utiliza como base modal para expandir la respuesta armónica amortiguada.

Vibración libre sin amortiguamiento y modos propios

Cuando se desprecia el amortiguamiento, la ecuación de movimiento es

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Al expandir el desplazamiento en cada modo propio se obtiene

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Sustituyendo esta expresión en la Ec.\(\eqref{eq:2.6.1}\) se obtiene

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Este es un problema generalizado de valores propios. Los métodos numéricos para resolverlo, incluida la iteración inversa desplazada y el método de Lanczos, se describen en Análisis modal. Esta sección resume las propiedades de las frecuencias naturales y los modos propios obtenidos que se utilizan en la posterior expansión de la respuesta armónica.

Carácter real de las frecuencias naturales

Puede demostrarse que la frecuencia natural es real del modo siguiente. Sea \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Al tomar el conjugado complejo de la Ec.\(\eqref{eq:2.6.3}\) se obtiene la Ec.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplicando por \(\overline{U}_J^T\) se obtiene

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

De la Ec.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Como la matriz de masa es simétrica definida positiva, para un vector propio no nulo se cumple

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Por lo tanto,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Por consiguiente, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) es real.

Ortogonalidad y normalización de los modos propios

Considérense dos modos diferentes.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

De ello se deduce que

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

y, cuando los valores propios son diferentes,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Por lo tanto, los distintos modos propios son ortogonales con respecto a la matriz de masa. Para un mismo modo, la normalización con respecto a la matriz de masa, como en la Ec.\(\eqref{eq:2.6.12}\), simplifica el tratamiento posterior.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Respuesta armónica con amortiguamiento

A continuación se presenta la formulación del análisis de respuesta en frecuencia con amortiguamiento. La ecuación de movimiento gobernante viene dada por la Ec.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Se supone que el término de amortiguamiento es de tipo Rayleigh y se expresa mediante la Ec.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Utilizando los vectores propios obtenidos mediante el análisis modal, el vector de desplazamiento en el instante t puede expandirse como en la Ec.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Supóngase que el término de fuerza externa tiene la forma armónica

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

A continuación se determina \(b_{j}(t)\). Como la ecuación de movimiento de la Ec.\(\eqref{eq:2.6.13}\) tiene la forma de una vibración forzada,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

se cumple. Las partes real e imaginaria del coeficiente de expansión \(b_{j}(t)\) vienen dadas por las Ecs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) y \(\eqref{eq:2.6.19}\), respectivamente.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Así se obtienen los coeficientes de respuesta armónica deseados.

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