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Derivadas espaciales de las funciones de forma

Las funciones de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introducidas en Funciones de forma y aproximación por elementos finitos se expresan como funciones de las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r}\), que son las coordenadas locales de un elemento. Por otra parte, mediante la relación deformación-desplazamiento, los integrandos de la forma débil contienen derivadas parciales con respecto a las coordenadas físicas (la configuración de referencia \(\boldsymbol{X}\) o la configuración actual \(\boldsymbol{x}\)), es decir, \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) o \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Esta sección organiza el procedimiento para calcular estas derivadas espaciales de las funciones de forma a partir de las coordenadas nodales del elemento y de las derivadas con respecto a las coordenadas naturales.

Expresión de las derivadas espaciales mediante la regla de la cadena

Al aplicar la regla de la cadena a la fórmula de interpolación \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (sección anterior) y utilizar la matriz jacobiana \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) de la transformación de coordenadas naturales a coordenadas físicas, se obtiene

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Aquí, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) y \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) son matrices en las que la fila \(\alpha\) representa el vector de derivadas parciales del nodo \(\alpha\); cada una es una matriz \(n_e \times 3\).

Construcción de la matriz jacobiana

Derivando la fórmula de interpolación con respecto a \(\boldsymbol{r}\) se obtiene

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Por tanto, la matriz jacobiana puede construirse directamente a partir de las coordenadas nodales del elemento \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) y de las derivadas respecto a las coordenadas naturales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Las derivadas respecto a las coordenadas naturales vienen determinadas por la forma funcional de las funciones de forma y están implementadas previamente para cada tipo de elemento.

El determinante de la matriz jacobiana \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) se utiliza en la integración numérica para transformar el elemento de volumen como \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Si el determinante se hace \(0\), el elemento está degenerado y el cálculo falla.

Flujo de cálculo

A partir de la derivación anterior, el cálculo de las derivadas espaciales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) puede dividirse en las cuatro etapas siguientes.

  1. Calcular las derivadas respecto a las coordenadas naturales: Utilizando como entrada el tipo de elemento y las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r}\) del punto de evaluación, calcule la matriz de derivadas respecto a las coordenadas naturales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Dado que la forma funcional de las funciones de forma difiere según el tipo de elemento, el procesamiento se bifurca en función de dicho tipo.
  2. Calcular la matriz jacobiana: A partir de las coordenadas nodales del elemento \(\boldsymbol{X}^e\) y de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), construya la matriz jacobiana \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) utilizando la ecuación de la sección anterior.
  3. Calcular la matriz inversa y el determinante: Calcule la inversa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) y el determinante de la matriz jacobiana. El determinante se utiliza en la ponderación de la integración numérica.
  4. Calcular las derivadas espaciales: A partir de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) y \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), obtenga las derivadas espaciales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) como su producto.

Estas cuatro etapas se bifurcan según el tipo de elemento y la dimensión espacial (dos o tres dimensiones), pero el flujo general es común.

Tratamiento común de las configuraciones de referencia y actual

El procedimiento anterior también puede aplicarse simplemente sustituyendo \(\boldsymbol{X}^e\) por las coordenadas nodales actuales \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) para obtener las derivadas espaciales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) en la configuración actual. De este modo, el mismo procedimiento puede compartirse entre las formulaciones lagrangiana total y lagrangiana actualizada cambiando únicamente las coordenadas nodales de entrada.

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