Перейти к содержанию

Пространственные производные функций формы

Функции формы \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), введенные в разделе Функции формы и конечно-элементная аппроксимация, задаются как функции естественных координат \(\boldsymbol{r}\), являющихся локальными координатами элемента. В подынтегральных выражениях слабой формы через соотношения между деформациями и перемещениями возникают частные производные по физическим координатам — по координатам исходной конфигурации \(\boldsymbol{X}\) или текущей конфигурации \(\boldsymbol{x}\): \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) или \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). В этой главе систематизирована процедура вычисления этих пространственных производных функций формы по координатам узлов элемента и производным по естественным координатам.

Представление пространственных производных с помощью цепного правила

Применяя цепное правило к интерполяционной формуле \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (предыдущий раздел) и используя матрицу Якоби \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) отображения естественных координат в физические, получаем

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Здесь \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) — матрицы размера \(n_e \times 3\), в которых строка \(\alpha\) представляет вектор частных производных для узла \(\alpha\).

Построение матрицы Якоби

Дифференцируя интерполяционную формулу по \(\boldsymbol{r}\), получаем

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Таким образом, матрица Якоби непосредственно строится из координат узлов элемента \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) и производных по естественным координатам \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Производные по естественным координатам определяются видом функций формы и заранее реализуются для каждого типа элемента.

Определитель матрицы Якоби \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) используется в разделе Численное интегрирование при преобразовании элемента объема \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Если определитель равен \(0\), элемент вырожден и вычисление невозможно.

Последовательность вычислений

Из приведенного выше вывода следует, что вычисление пространственных производных \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) можно разделить на следующие четыре этапа.

  1. Вычисление производных по естественным координатам: по типу элемента и естественным координатам точки вычисления \(\boldsymbol{r}\) вычисляется матрица производных \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Поскольку вид функций формы зависит от типа элемента, алгоритм ветвится по типу элемента.
  2. Вычисление матрицы Якоби: по координатам узлов элемента \(\boldsymbol{X}^e\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) с помощью формулы из предыдущего раздела строится матрица Якоби \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
  3. Вычисление обратной матрицы и определителя: вычисляются обратная матрица \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) и определитель матрицы Якоби. Определитель используется в весе численного интегрирования.
  4. Вычисление пространственных производных: пространственные производные \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) получают как произведение \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) и \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Эти четыре этапа могут ветвиться в зависимости от типа элемента и пространственной размерности (2D или 3D), однако общая последовательность одинакова.

Единая процедура для исходной и текущей конфигураций

Приведенную выше процедуру можно применить и к текущей конфигурации, просто заменив \(\boldsymbol{X}^e\) текущими координатами узлов \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\); при этом получаются пространственные производные \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). Поэтому в формулировках Total Lagrange и Updated Lagrange можно использовать одну и ту же процедуру, меняя только входные координаты узлов.

Связанные разделы