Напряжения и законы баланса¶
В этой главе систематизированы определения и взаимосвязи тензоров напряжений, а также уравнения равновесия и симметрия напряжений, выводимые из законов сохранения массы, линейного и углового моментов. Три тензора напряжений — напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\), первое напряжение Пиолы — Кирхгофа \(\boldsymbol{P}\) и второе напряжение Пиолы — Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) — вводятся в зависимости от того, какая конфигурация используется для опорной поверхности и вектора силы. Определения конфигурации, движения и градиента деформации см. в разделе Движение, деформация и деформации, а список обозначений — в разделе Список обозначений физических величин.
Тензор напряжений Коши¶
Пусть \(d\boldsymbol{f}\) — сила, действующая на бесконечно малую поверхность в точке \(\boldsymbol{x}\) текущей конфигурации (площадь \(d\Gamma\), внешняя единичная нормаль \(\boldsymbol{n}\)), и определим вектор поверхностных усилий \(\boldsymbol{t}\) как силу на единицу площади, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) зависит как от положения \(\boldsymbol{x}\), так и от нормали \(\boldsymbol{n}\). Применение закона сохранения импульса к бесконечно малому тетраэдру показывает, что \(\boldsymbol{t}\) линейно зависит от \(\boldsymbol{n}\), поэтому существует тензор второго порядка \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) такой, что
для любого \(\boldsymbol{n}\) (теорема Коши о напряжениях). Этот тензор \(\boldsymbol{\sigma}\) называется тензором напряжений Коши, а также истинным напряжением, поскольку он представляет силу на единицу площади, измеряемой относительно геометрии текущей конфигурации. Компонента \(\sigma_{ij}\) представляет компоненту \(x_i\) силы на единицу площади, действующей на бесконечно малую поверхность, нормальную к координатной оси \(x_j\) в текущей конфигурации.
Как будет показано далее из закона сохранения углового момента, напряжение Коши является симметричным тензором:
Поэтому в трехмерном случае он имеет шесть независимых компонент (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Векторизация напряжений в обозначениях Фойгта предполагает эту симметрию (см. Тензорные обозначения и математические основы). Напряжение Коши используется для вывода напряжений в геометрически нелинейном анализе FrontISTR методом обновленной лагранжевой формулировки и при анализе малых деформаций.
Первое и второе напряжения Пиолы — Кирхгофа¶
При конечных деформациях часто удобно выражать напряжения относительно поверхностей и векторов в опорной конфигурации, поэтому вводятся два тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа. Пусть площадь бесконечно малой поверхности в опорной конфигурации равна \(d\Gamma_0\), а ее внешняя единичная нормаль — \(\boldsymbol{N}\).
Первое напряжение Пиолы — Кирхгофа (первое PK-напряжение, номинальное напряжение) \(\boldsymbol{P}\) определяется как тензор напряжений, получаемый, когда сила \(d\boldsymbol{f}\) в текущей конфигурации прикладывается к бесконечно малой поверхности в опорной конфигурации:
Использование формулы Нансона \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) совместно с теоремой Коши о напряжениях дает связь с напряжением Коши
Первое PK-напряжение в общем случае несимметрично.
Второе напряжение Пиолы — Кирхгофа (второе PK-напряжение) \(\boldsymbol{S}\) определяется как тензор напряжений, получаемый путем переноса силы текущей конфигурации \(d\boldsymbol{f}\) обратно в опорную конфигурацию с помощью \(\boldsymbol{F}^{-1}\) и приложения ее к бесконечно малой поверхности в опорной конфигурации:
И вектор силы, и поверхность, на которую он действует, выражены величинами опорной конфигурации, благодаря чему этот тензор инвариантен относительно вращения твердого тела и симметричен. Его связь с первым PK-напряжением и преобразование из напряжения Коши имеют вид
Второе PK-напряжение выводится из функции энергии деформации гиперупругого материала \(W(\boldsymbol{C})\) как \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) и в методе полной лагранжевой формулировки используется как энергетически сопряженная с деформацией Грина — Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Опорные конфигурации и свойства симметрии сведены ниже. В пределе малых деформаций (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) три напряжения совпадают.
| Тензор напряжений | Опорная поверхность | Вектор силы | Симметрия | Применение |
|---|---|---|---|---|
| Напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) | Текущая конфигурация \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Текущая конфигурация \(d\boldsymbol{f}\) | Симметричный | Метод обновленной лагранжевой формулировки / анализ малых деформаций |
| Первое PK-напряжение \(\boldsymbol{P}\) | Опорная конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Текущая конфигурация \(d\boldsymbol{f}\) | Обычно несимметричный | Уравнения равновесия в опорной конфигурации |
| Второе PK-напряжение \(\boldsymbol{S}\) | Опорная конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Опорная конфигурация \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Симметричный | Метод полной лагранжевой формулировки / гиперупругость |
Сохранение массы и импульса и уравнения равновесия¶
Пусть \(\rho\) — плотность массы в текущей конфигурации, а \(\rho_0\) — плотность массы в опорной конфигурации. Закон сохранения массы \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) совместно с преобразованием элемента объема \(dv = J\, dV\) сводится к локальной форме
Это локальное соотношение сохранения массы.
Пусть \(\boldsymbol{g}\) — объемная сила на единицу массы, а \(\boldsymbol{a}\) — ускорение. Применение теоремы Коши о напряжениях и теоремы Гаусса — Остроградского к закону сохранения линейного импульса (первому закону движения Эйлера) дает локальное уравнение равновесия (уравнение движения) в текущей конфигурации:
Переписывая интеграл в опорной конфигурации с использованием формулы Нансона и \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), получаем локальную форму в опорной конфигурации:
Эти две формы эквивалентны через правило преобразования напряжений и \(\rho_0 = J\rho\). При пренебрежении инерционным членом получаем
Это уравнение статического равновесия, которое служит исходной точкой для статического анализа FrontISTR (линейного и нелинейного).
Сохранение углового момента и симметрия напряжений¶
Совместное использование закона сохранения углового момента (второго закона движения Эйлера) и уравнения равновесия, полученного из закона сохранения линейного импульса, приводит к симметрии тензора напряжений Коши:
Следовательно, в трех измерениях он имеет шесть независимых компонент. Транспонирование обеих частей преобразования \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) и использование невырожденности \(\boldsymbol{F}\) показывает, что второе PK-напряжение также симметрично:
и поэтому также имеет шесть независимых компонент. В отличие от него, первое PK-напряжение \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) в общем случае несимметрично; выполняется только соотношение \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (то есть \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) симметрично), и оно имеет девять независимых компонент.
Эти свойства симметрии являются основанием для представления напряжений шестикомпонентным вектором в обозначениях Фойгта. Соглашения по обозначениям Фойгта и построению матриц материала см. в разделах Тензорные обозначения и математические основы и Линейная упругость.