应力与守恒定律¶

本章整理应力张量的定义及相互关系，以及由质量、线动量和角动量守恒定律导出的平衡方程和应力对称性。三种应力张量（Cauchy 应力 \(\boldsymbol{\sigma}\)、第 1 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{P}\)、第 2 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{S}\)）根据参考面和力向量采用哪一种构形而引入。关于构形、运动和变形梯度的定义，请参阅运动、变形与应变；符号列表请参阅物理量符号列表。

Cauchy 应力张量¶

设当前构形中点 \(\boldsymbol{x}\) 处的微小面（面积 \(d\Gamma\)，外向单位法向量 \(\boldsymbol{n}\)）上作用的力为 \(d\boldsymbol{f}\)，并将应力向量 \(\boldsymbol{t}\) 定义为单位面积上的力，即 \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)。\(\boldsymbol{t}\) 同时依赖于位置 \(\boldsymbol{x}\) 和法向量 \(\boldsymbol{n}\)。将动量守恒定律应用于微小四面体可知，\(\boldsymbol{t}\) 关于 \(\boldsymbol{n}\) 为线性，因此存在二阶张量 \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\)，使得

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

对任意 \(\boldsymbol{n}\) 均成立（Cauchy 应力定理）。该张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 称为 Cauchy 应力张量；由于它表示以当前构形几何形状为基准的单位面积上的力，也称为真实应力。分量 \(\sigma_{ij}\) 表示在当前构形中，与坐标轴 \(x_j\) 垂直的微小面上单位面积作用力的 \(x_i\) 分量。

由后述角动量守恒定律可知，Cauchy 应力为对称张量

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

，因此在三维中有 6 个独立分量（\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)）。采用 Voigt 表示对应力进行向量化时以这一对称性为前提（参阅张量记法与数学基础）。Cauchy 应力用于 FrontISTR 的 Updated Lagrange 法几何非线性分析以及小变形分析中的应力输出。

第 1、第 2 Piola-Kirchhoff 应力¶

在有限变形中，很多情况下以参考构形中的参考面和参考向量表示应力更为方便，因此引入两种 Piola-Kirchhoff 应力张量。设参考构形中微小面的面积为 \(d\Gamma_0\)，外向单位法向量为 \(\boldsymbol{N}\)。

第 1 Piola-Kirchhoff 应力（第 1 PK 应力，名义应力）\(\boldsymbol{P}\) 定义为将当前构形中的力 \(d\boldsymbol{f}\) 作用于参考构形微小面时的应力张量：

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

。由 Nanson 公式 \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) 和 Cauchy 应力定理可得其与 Cauchy 应力的关系

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

。第 1 PK 应力通常为非对称张量。

第 2 Piola-Kirchhoff 应力（第 2 PK 应力）\(\boldsymbol{S}\) 定义为先用 \(\boldsymbol{F}^{-1}\) 将当前构形中的力 \(d\boldsymbol{f}\) 拉回参考构形，再将其作用于参考构形微小面时的应力张量：

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

。力向量和作用面均以参考构形中的量表示，因此它对刚体转动不变且为对称张量。其与第 1 PK 应力的关系以及由 Cauchy 应力转换的公式为

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

。第 2 PK 应力由超弹性应变能函数 \(W(\boldsymbol{C})\) 按 \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) 导出，在 Total Lagrange 法中与 Green-Lagrange 应变 \(\boldsymbol{E}\) 构成功共轭对 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)。

参考构形和对称性如下表所示。在小变形极限（\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)，\(J \to 1\)）下，三种应力一致。

应力张量	参考面	力向量	对称性	用途
Cauchy 应力 \(\boldsymbol{\sigma}\)	当前构形 \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	当前构形 \(d\boldsymbol{f}\)	对称	Updated Lagrange 法、小变形分析
第 1 PK 应力 \(\boldsymbol{P}\)	参考构形 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	当前构形 \(d\boldsymbol{f}\)	通常非对称	参考构形中的平衡方程
第 2 PK 应力 \(\boldsymbol{S}\)	参考构形 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	参考构形 \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	对称	Total Lagrange 法、超弹性

质量、动量守恒定律与平衡方程¶

设当前构形中的质量密度为 \(\rho\)，参考构形中的质量密度为 \(\rho_0\)，则质量守恒定律 \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) 通过体积元变换 \(dv = J\, dV\) 化为局部形式

\[ \rho_0 = J \rho \]

。

设单位质量物体力为 \(\boldsymbol{g}\)，加速度为 \(\boldsymbol{a}\)，将 Cauchy 应力定理和 Gauss 散度定理应用于线动量守恒定律（Euler 第一运动定律），得到当前构形中的局部平衡方程（运动方程）

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

。使用 Nanson 公式和 \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) 将积分改写到参考构形，可得参考构形中的局部形式

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

。两种形式通过应力变换关系和 \(\rho_0 = J\rho\) 等价。忽略惯性项后得到

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

，这是静力平衡方程，也是 FrontISTR 静力分析（线性、非线性）的起始方程。

角动量守恒定律与应力对称性¶

将角动量守恒定律（Euler 第二运动定律）与由线动量守恒得到的平衡方程结合，可导出 Cauchy 应力张量的对称性

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

，因此在三维中由 6 个独立分量组成。对变换式 \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) 两边取转置，并利用 \(\boldsymbol{F}\) 的非奇异性，可知第 2 PK 应力也对称

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

，因此同样由 6 个独立分量组成。另一方面，第 1 PK 应力 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) 通常不对称，仅满足关系 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\)（即 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) 为对称张量），其独立分量数为 9。

这些对称性是采用 Voigt 表示将应力向量化为 6 分量的前提。关于 Voigt 表示规则和材料矩阵的构成，请参阅张量记法与数学基础和线性弹性。