Tensión y leyes de balance¶
Este capítulo organiza las definiciones y relaciones entre los tensores de tensión, junto con las ecuaciones de equilibrio y la simetría de la tensión derivadas de la conservación de la masa, del momento lineal y del momento angular. Los tres tensores de tensión —la tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), la primera tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) y la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\)— se introducen según la configuración utilizada para la superficie de referencia y el vector de fuerza. Consulte Movimiento, deformación y deformación unitaria para las definiciones de configuración, movimiento y gradiente de deformación, y Lista de símbolos de magnitudes físicas para la lista de símbolos.
Tensor de tensión de Cauchy¶
Sea \(\boldsymbol{x}\) la fuerza que actúa sobre una superficie infinitesimal en un punto \(d\Gamma\) de la configuración actual (área \(\boldsymbol{n}\), normal unitaria exterior \(d\boldsymbol{f}\)), y defínase el vector de tracción \(\boldsymbol{t}\) mediante la fuerza por unidad de área, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) depende tanto de la posición \(\boldsymbol{x}\) como de la normal \(\boldsymbol{n}\). Al aplicar la conservación del momento a un tetraedro infinitesimal se demuestra que \(\boldsymbol{t}\) es lineal respecto de \(\boldsymbol{n}\), por lo que existe un tensor de segundo orden \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tal que
para cualquier \(\boldsymbol{n}\) (teorema de tensiones de Cauchy). Este tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) se denomina tensor de tensión de Cauchy, y también tensión verdadera, porque representa la fuerza por unidad de área medida con respecto a la geometría de la configuración actual. La componente \(\sigma_{ij}\) representa la componente \(x_j\) de la fuerza por unidad de área que actúa sobre una superficie infinitesimal normal al eje de coordenadas \(x_i\) en la configuración actual.
Como se mostrará más adelante a partir de la conservación del momento angular, la tensión de Cauchy es un tensor simétrico:
Por tanto, en tres dimensiones tiene seis componentes independientes (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). La vectorización de la tensión en notación de Voigt presupone esta simetría (consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos). La tensión de Cauchy se utiliza para la salida de tensiones en los análisis geométricamente no lineales de FrontISTR con el método de Lagrange actualizado y en los análisis de pequeñas deformaciones.
Primera y segunda tensiones de Piola-Kirchhoff¶
Para deformaciones finitas suele ser conveniente expresar la tensión con referencia a superficies y vectores de la configuración de referencia, por lo que se introducen dos tensores de tensión de Piola-Kirchhoff. Sea \(d\Gamma_0\) el área de una superficie infinitesimal en la configuración de referencia y \(\boldsymbol{N}\) su normal unitaria exterior.
La primera tensión de Piola-Kirchhoff (primera tensión PK, tensión nominal) \(\boldsymbol{P}\) se define como el tensor de tensión obtenido cuando la fuerza \(d\boldsymbol{f}\) de la configuración actual se aplica a una superficie infinitesimal de la configuración de referencia:
Utilizando la fórmula de Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) junto con el teorema de tensiones de Cauchy se obtiene la relación con la tensión de Cauchy
La primera tensión PK es, en general, no simétrica.
La segunda tensión de Piola-Kirchhoff (segunda tensión PK) \(\boldsymbol{S}\) se define como el tensor de tensión obtenido al llevar hacia atrás a la configuración de referencia la fuerza \(d\boldsymbol{f}\) de la configuración actual mediante \(\boldsymbol{F}^{-1}\) y aplicarla a una superficie infinitesimal de la configuración de referencia:
Tanto el vector de fuerza como la superficie sobre la que actúa se expresan mediante magnitudes de la configuración de referencia, lo que hace que sea invariante frente a una rotación de cuerpo rígido y simétrica. Su relación con la primera tensión PK y la transformación desde la tensión de Cauchy son
La segunda tensión PK se deriva de una función de energía de deformación hiperelástica \(W(\boldsymbol{C})\) como \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) y, en el método de Lagrange total, se utiliza junto con la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) como par conjugado de trabajo \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
A continuación se resumen las configuraciones de referencia y las propiedades de simetría. En el límite de pequeñas deformaciones (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), las tres tensiones coinciden.
| Tensor de tensión | Superficie de referencia | Vector de fuerza | Simetría | Aplicación |
|---|---|---|---|---|
| Tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) | Configuración actual \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Configuración actual \(d\boldsymbol{f}\) | Simétrica | Método de Lagrange actualizado / análisis de pequeñas deformaciones |
| Primera tensión PK \(\boldsymbol{P}\) | Configuración de referencia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuración actual \(d\boldsymbol{f}\) | Generalmente no simétrica | Ecuaciones de equilibrio en la configuración de referencia |
| Segunda tensión PK \(\boldsymbol{S}\) | Configuración de referencia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuración de referencia \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Simétrica | Método de Lagrange total / hiperelasticidad |
Conservación de la masa y del momento y ecuaciones de equilibrio¶
Sea \(\rho\) la densidad de masa en la configuración actual y \(\rho_0\) la densidad de masa en la configuración de referencia. La ley de conservación de la masa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), junto con la transformación del elemento de volumen \(dv = J\, dV\), se reduce a la forma local
Esta es la relación local de conservación de la masa.
Sea \(\boldsymbol{g}\) la fuerza de volumen por unidad de masa y \(\boldsymbol{a}\) la aceleración. Aplicando el teorema de tensiones de Cauchy y el teorema de la divergencia de Gauss a la conservación del momento lineal (primera ley del movimiento de Euler) se obtiene la ecuación de equilibrio (ecuación de movimiento) local en la configuración actual:
Reescribiendo la integral en la configuración de referencia mediante la fórmula de Nanson y \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) se obtiene la forma local en la configuración de referencia:
Las dos formas son equivalentes mediante la regla de transformación de tensiones y \(\rho_0 = J\rho\). Si se desprecia el término de inercia se obtiene
que es la ecuación de equilibrio estático y constituye el punto de partida del análisis estático de FrontISTR (lineal y no lineal).
Conservación del momento angular y simetría de la tensión¶
Al combinar la conservación del momento angular (segunda ley del movimiento de Euler) con la ecuación de equilibrio obtenida de la conservación del momento lineal se obtiene la simetría del tensor de tensión de Cauchy:
Por tanto, tiene seis componentes independientes en tres dimensiones. Tomando la transpuesta de ambos lados de la transformación \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) y utilizando la no singularidad de \(\boldsymbol{F}\) se demuestra que la segunda tensión PK también es simétrica:
y, por tanto, también tiene seis componentes independientes. En cambio, la primera tensión PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) no es simétrica en general; solo se cumple la relación \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (es decir, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) es simétrica), y tiene nueve componentes independientes.
Estas simetrías constituyen la base para expresar la tensión como un vector de seis componentes en notación de Voigt. Consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos y Elasticidad lineal para las convenciones de notación de Voigt y la construcción de matrices de material.