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Notación tensorial y fundamentos matemáticos

Este capítulo reúne las convenciones de notación tensorial, notación indicial y notación de Voigt utilizadas en los capítulos posteriores del Manual teórico de FrontISTR. Aquí solo se describen reglas puras de notación que no dependen de las definiciones de las magnitudes físicas. Las convenciones de notación que dependen de la configuración asociada al movimiento del continuo (configuración de referencia/actual), como la distinción entre letras mayúsculas y minúsculas y entre derivadas materiales y espaciales, se presentan en Movimiento, deformación y deformación unitaria, donde se introduce el concepto de configuración.

Notación tensorial

Notación en negrita para vectores y tensores

Como convención tipográfica, las magnitudes escalares y las componentes de vectores y tensores se escriben en tipo normal (como \(\rho\) y \(x_i\)), mientras que las magnitudes vectoriales y tensoriales en sí mismas se escriben en negrita (como \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) y \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convención de sumación de Einstein

Salvo que se indique lo contrario, se utiliza la convención de sumación de Einstein: cuando el mismo índice aparece dos veces en un mismo término, se realiza la suma respecto a dicho índice. Por ejemplo,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

y la componente \(i,j\) del producto \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) de los tensores \(\boldsymbol{A}\) y \(\boldsymbol{B}\) es

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Como convención de índices, cuando \(i, j, k, l, \ldots\) se utilizan como índices sin ninguna otra indicación, representan índices asociados a los grados de libertad (\(1, 2, 3\) en tres dimensiones), mientras que las letras griegas minúsculas \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilizadas como índices representan índices asociados a los nodos que constituyen un elemento.

Producto interno, traspuesta y producto tensorial

La traspuesta del tensor \(\boldsymbol{A}\) se denota por \(\boldsymbol{A}^T\). El producto interno (doble contracción) de los tensores de segundo orden \(\boldsymbol{A}\) y \(\boldsymbol{B}\) se escribe como

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

El producto interno de los vectores \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\) es \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), y su producto tensorial es \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notación de Voigt

La tensión y la deformación unitaria son tensores simétricos de segundo orden con respecto a los grados de libertad, y los coeficientes que representan la relación lineal entre ambas forman un tensor de cuarto orden. Manipularlos directamente en un programa resulta desventajoso en términos de coste computacional y codificación (matrices multidimensionales y bucles profundamente anidados). Por ello, los programas generales de elementos finitos aprovechan la simetría y comprimen la tensión y la deformación unitaria en vectores columna y el tensor de elasticidad de cuarto orden en una matriz bidimensional. Esto se denomina notación de Voigt.

En lo sucesivo, la representación matricial o vectorial de una magnitud tensorial \(\boldsymbol{A}\) se denota por \(\hat{A}\) para distinguirla del tensor original.

Representación vectorial de la tensión y la deformación unitaria

Para el tensor simétrico de tensiones \(\boldsymbol{\sigma}\) y el tensor de deformaciones \(\boldsymbol{\varepsilon}\), en dos dimensiones,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

en tres dimensiones,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

se manejan como vectores columna, tal como se muestra arriba. La misma regla se aplica a magnitudes derivadas, como variaciones y diferenciales. Obsérvese que las componentes de cortadura del lado de la deformación tienen un factor 2 (las del lado de la tensión no). Debido a esta asimetría, el producto interno tensorial puede escribirse de forma compacta como el producto interno vectorial

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

En la implementación, es fácil manejar incorrectamente el factor 2 de las componentes de deformación por cortadura, por lo que debe tenerse siempre presente la convención "ausente en la tensión / presente en la deformación". La misma convención de Voigt se aplica exactamente a las magnitudes de la configuración de referencia (la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Representación matricial de un tensor de cuarto orden

Para la relación lineal entre tensión y deformación, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (en componentes, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), al utilizar la simetría de \(\boldsymbol{\varepsilon}\) se obtiene

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

En tres dimensiones, al disponer \(\tilde{C}\) como la matriz de material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), la relación tensorial original puede expresarse como

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

En lo sucesivo, en este manual, salvo que se indique lo contrario, la matriz de material se denota por \(D\) (o \(\hat{C}\)). Para las componentes específicas de la elasticidad lineal isotrópica, consulte Elasticidad lineal.

Convenciones de operadores diferenciales

Operador gradiente simétrico

El operador gradiente simétrico \(\nabla_S\) para un campo vectorial \(\boldsymbol{u}\) se define como

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

En forma de componentes, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). La deformación unitaria infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) puede expresarse de forma compacta mediante este operador. La distinción entre las configuraciones (referencia/actual) respecto a las cuales se toman los gradientes en deformación finita se trata en Movimiento, deformación y deformación unitaria.

Derivada temporal material

La derivada temporal material de una magnitud \(A\) (la derivada temporal siguiendo el mismo punto material) se denota mediante un punto superíndice, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

La velocidad y la aceleración siguen esta convención.

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