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Métodos de análisis dinámico

Esta sección describe los métodos de análisis de problemas dinámicos mediante integración temporal directa. A continuación se presentan las formulaciones de los métodos implícito y explícito.

Discretización de la ecuación de movimiento (marco común)

Por determinar (se completará en la siguiente fase).

Método implícito (método de Newmark-β)

Para los problemas dinámicos se aplica un método de integración temporal directa para resolver la ecuación de movimiento mostrada a continuación.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Aquí, \(M\) es la matriz de masa, \(C\) es la matriz de amortiguamiento, \(Q\) es el vector de fuerzas internas y \(F\) es el vector de fuerzas externas. Se supone que la matriz de masa permanece constante independientemente de la deformación, incluso en análisis no lineales.

Los cambios de desplazamiento, velocidad y aceleración durante el incremento temporal \(\Delta t\) se aproximan mediante el método de Newmark-\(\beta\), como se muestra en las Ecs. \(\eqref{eq:2.5.2}\) y \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Aquí, \(\gamma\) y \(\beta\) son parámetros del método de Newmark-\(\beta\).

Como es bien sabido, los siguientes valores de \(\gamma\) y \(\beta\) corresponden, respectivamente, al método de aceleración lineal y a la regla trapezoidal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (método de aceleración lineal)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regla trapezoidal)

Al sustituir las Ecs. \(\eqref{eq:2.5.2}\) y \(\eqref{eq:2.5.3}\) en la Ec. \(\eqref{eq:2.5.1}\) se obtiene la siguiente ecuación.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

En particular, para un problema lineal, \(K_L\) es la matriz de rigidez lineal y \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Al sustituir esta relación en la ecuación anterior se obtiene la siguiente ecuación.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

En los puntos donde la aceleración se prescribe como condición de contorno geométrica, el desplazamiento se obtiene de la Ec. \(\eqref{eq:2.5.2}\) de la siguiente manera.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Del mismo modo, en los puntos donde se prescribe la velocidad, el desplazamiento se obtiene de la Ec. \(\eqref{eq:2.5.6}\) de la siguiente manera.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Aquí, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) es el desplazamiento nodal en el instante \(t+\Delta{t}\), y \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) es la velocidad nodal en el instante \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) es la aceleración nodal en el instante \(t+\Delta{t}\), \(i\) es el número de grado de libertad nodal y \(s\) es el número de nodo. Los términos de masa y amortiguamiento se tratan de la siguiente manera.

Tratamiento del término de masa

En principio, la matriz de masa se trata como una matriz de masa concentrada.

Tratamiento del término de amortiguamiento

El término de amortiguamiento se trata como amortiguamiento de Rayleigh expresado mediante la Ec. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Aquí, \(R_m\) y \(R_k\) son los parámetros de amortiguamiento de Rayleigh.

Los \(R_m\) y \(R_k\) especificados en la tarjeta !DYNAMIC se aplican uniformemente a todo el modelo. Para asignar valores distintos de \(R_m\) y \(R_k\) según el material, especifique la tarjeta !DAMPING dentro del bloque !MATERIAL del material correspondiente. Para los elementos pertenecientes a un material en el que se haya especificado !DAMPING, la matriz de amortiguamiento del elemento se calcula a partir de su matriz de masa \(M_i\) y su matriz de rigidez tangente \(K_i\) como \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), y se ensambla en la matriz global de amortiguamiento. Esta función solo es válida con el método implícito.

Método explícito (método de diferencias centrales)

El método explícito se basa en la ecuación de movimiento en el instante t mostrada a continuación.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Al expresar mediante desarrollos de Taylor alrededor del instante \(t\) los desplazamientos en los instantes \(t + \Delta t\) y \(t - \Delta t\), y conservar los términos hasta segundo orden en \(\Delta t\), se obtienen las siguientes ecuaciones.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Tomando la diferencia y la suma de las Ecs. \(\eqref{eq:2.5.3}\) y \(\eqref{eq:2.5.4}\) se obtienen las siguientes ecuaciones.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Al sustituir las Ecs. \(\eqref{eq:2.5.12}\) y \(\eqref{eq:2.5.13}\) en la Ec. \(\eqref{eq:2.5.9}\) se obtiene la siguiente ecuación.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

En particular, para un problema lineal, \(Q(t) = K_L U(t)\), y la ecuación anterior se convierte en

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Si la matriz de masa \(M\) se toma como una matriz de masa concentrada y la matriz de amortiguamiento como una matriz de amortiguamiento proporcional \(C = R_m M\), la Ec. \(\eqref{eq:2.5.15}\) no requiere resolver ecuaciones simultáneas.

Por tanto, a partir de la Ec. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) puede obtenerse mediante la siguiente ecuación.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

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