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Metodi di analisi dinamica

Questa sezione descrive i metodi di analisi per problemi dinamici basati sull'integrazione diretta nel tempo. Di seguito sono presentate le formulazioni del metodo implicito e del metodo esplicito.

Discretizzazione dell'equazione del moto (schema comune)

TBD (da completare nella fase successiva).

Metodo implicito (metodo di Newmark-β)

Per i problemi dinamici viene applicato un metodo di integrazione diretta nel tempo per risolvere l'equazione del moto riportata di seguito.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Qui, \(M\) è la matrice di massa, \(C\) è la matrice di smorzamento, \(Q\) è il vettore delle forze interne e \(F\) è il vettore delle forze esterne. Si assume che la matrice di massa rimanga costante indipendentemente dalla deformazione, anche nell'analisi non lineare.

Le variazioni di spostamento, velocità e accelerazione nell'incremento temporale \(\Delta t\) sono approssimate mediante il metodo di Newmark-\(\beta\), come mostrato nelle Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) ed Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Qui, \(\gamma\) e \(\beta\) sono parametri del metodo di Newmark-\(\beta\).

Come è noto, i seguenti valori di \(\gamma\) e \(\beta\) corrispondono rispettivamente al metodo dell'accelerazione lineare e alla regola trapezoidale.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metodo dell'accelerazione lineare)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regola trapezoidale)

Sostituendo l'Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) e l'Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) nell'Eq. \(\eqref{eq:2.5.1}\), si ottiene la seguente equazione.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

In particolare, per un problema lineare, \(K_L\) è la matrice di rigidezza lineare e \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Sostituendo questa relazione nell'equazione precedente si ottiene la seguente equazione.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Nei punti in cui l'accelerazione è prescritta come condizione al contorno geometrica, lo spostamento si ricava dall'Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) come segue.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Analogamente, nei punti in cui è prescritta la velocità, lo spostamento si ricava dall'Eq. \(\eqref{eq:2.5.6}\) come segue.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Qui, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) è lo spostamento nodale al tempo \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) è la velocità nodale al tempo \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) è l'accelerazione nodale al tempo \(t+\Delta{t}\), \(i\) è il numero del grado di libertà nodale e \(s\) è il numero del nodo. I termini di massa e smorzamento sono trattati come segue.

Trattamento del termine di massa

In linea di principio, la matrice di massa viene trattata come matrice di massa concentrata.

Trattamento del termine di smorzamento

Il termine di smorzamento viene trattato come smorzamento di Rayleigh espresso dall'Eq. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Qui, \(R_m\) e \(R_k\) sono i parametri dello smorzamento di Rayleigh.

I valori di \(R_m\) e \(R_k\) specificati nella scheda !DYNAMIC vengono applicati uniformemente all'intero modello. Per assegnare valori diversi di \(R_m\) e \(R_k\) a ciascun materiale, specificare la scheda !MATERIAL all'interno del blocco !DAMPING del materiale interessato. Per gli elementi appartenenti a un materiale per il quale è specificato !DAMPING, la matrice di smorzamento dell'elemento viene calcolata come \(M_i\) a partire dalla matrice di massa dell'elemento \(K_i\) e dalla matrice di rigidezza tangente \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), quindi assemblata nella matrice di smorzamento globale. Questa funzione è valida solo per il metodo implicito.

Metodo esplicito (metodo delle differenze centrali)

Il metodo esplicito si basa sull'equazione del moto al tempo t riportata di seguito.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Esprimendo gli spostamenti ai tempi \(t + \Delta t\) e \(t - \Delta t\) mediante sviluppi di Taylor intorno al tempo \(t\) e mantenendo i termini fino al secondo ordine in \(\Delta t\), si ottengono le seguenti equazioni.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Prendendo la differenza e la somma dell'Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) e dell'Eq. \(\eqref{eq:2.5.4}\), si ottengono le seguenti equazioni.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Sostituendo l'Eq. \(\eqref{eq:2.5.12}\) e l'Eq. \(\eqref{eq:2.5.13}\) nell'Eq. \(\eqref{eq:2.5.9}\), si ottiene la seguente equazione.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

In particolare, per un problema lineare, \(Q(t) = K_L U(t)\), e l'equazione precedente diventa

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Se la matrice di massa \(M\) viene assunta come matrice di massa concentrata e la matrice di smorzamento come matrice di smorzamento proporzionale \(C = R_m M\), l'Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\) non richiede la soluzione di un sistema di equazioni simultanee.

Pertanto, dall'Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) può essere ottenuto mediante la seguente equazione.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

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