동적 문제를 대상으로, 아래 식에 나타낸 운동방정식의 해법에 직접 시간 적분법을 적용하였다.
\[\begin{equation}
M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t )
\label{eq:2.5.1}
\end{equation}\]
여기서 \(M\)은 질량 행렬, \(C\)는 감쇠 행렬, \(Q\)는 내력 벡터, \(F\)는 외력 벡터이다.
또한 질량 행렬은 비선형 해석에서도 변형과 무관하게 일정하다고 한다.
시간 증분 \(\Delta t\) 내에서의 변위, 속도 및 가속도의 변화는 Newmark-\(\beta\) 법을 사용하여 식 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 및 식 \(\eqref{eq:2.5.3}\)과 같이 근사한다.
\[\begin{equation}
\dot{U}(t + \Delta t) =
\frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.2}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.5.2}\), 식 \(\eqref{eq:2.5.3}\)을 식 \(\eqref{eq:2.5.1}\)에 대입하면 다음 식을 얻는다.
\[\begin{align}
\nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t )
- Q ( t + \Delta t ) \\\
\nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t )
+ \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\
&+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t)
+ \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.4}
\end{align}\]
특히 선형 문제에서는 \(K_L\)을 선형 강성 행렬로 하고, \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\)가 되며, 이 식을 위 식에 대입하면 다음 식을 얻는다.
여기서
\(u_{is}(t+\Delta{t})\)는 시각 \(t+\Delta{t}\)에서의 절점 변위, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)는 시각 \(t+\Delta{t}\)에서의 절점 속도,
\(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\)는 시각 \(t+\Delta{t}\)에서의 절점 가속도, \(i\)는 절점 자유도 번호, \(s\)는 절점 번호이다.
또한 질량 항과 감쇠 항의 취급은 다음과 같다.
\[\begin{equation}
C = R_m M + R_k K_L
\label{eq:2.5.8}
\end{equation}\]
여기서 \(R_m\), \(R_k\)는 Rayleigh 감쇠의 매개변수이다.
!DYNAMIC 카드에서 지정하는 \(R_m\), \(R_k\)는 모델 전체에 일률적으로 적용된다. 재료별로 서로 다른 \(R_m\), \(R_k\)를 지정하려면 해당 재료의 !MATERIAL 블록 안에 !DAMPING 카드를 지정한다. !DAMPING이 지정된 재료에 속하는 요소는 해당 요소의 질량 행렬 \(M_i\)와 접선 강성 행렬 \(K_i\)로부터 \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\)로 요소 감쇠 행렬을 계산하여 전역 감쇠 행렬에 조립한다. 이 기능은 암시적 방법에서만 유효하다.