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3차원 솔리드 요소의 형상 함수

이 장에서는 FrontISTR가 연속체 해석에 사용하는 3차원 솔리드 요소에 대해 형상 함수와 유한요소 근사에서 도입한 형상 함수 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)의 자연 좌표계와 구체적인 형식을 정리합니다. 대상인 여섯 요소 유형은 1차/2차 사면체(341/342), 1차/2차 삼각기둥(351/352), 1차/2차 육면체(361/362)입니다. HEC-MW 메시 형식의 절점 순서와 면 번호는 기능 레퍼런스의 요소 라이브러리를 참조하십시오.

이러한 형상 함수와 Jacobian 행렬식을 사용하여 요소 적분을 구성하는 절차는 수치 적분을 따릅니다. 361의 B-bar, F-bar 및 비적합 정식화와 빔 및 쉘 요소의 형상 함수는 고성능 요소 정식화에서 다룹니다.

자연 좌표계와 내부 절점 순서

형상 함수는 각 요소의 자연 좌표 \(\boldsymbol{r}\) 위에서 정의됩니다. 3차원 솔리드 요소는 요소 형상에 따라 다음 세 종류의 자연 좌표계를 사용합니다.

  • 육면체(361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • 사면체(341/342): 체적 좌표 \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)를 사용하며 \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\)입니다. \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\)를 독립 변수로 취하면 \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\)입니다.
  • 삼각기둥(351/352): 밑면 삼각형의 체적 좌표 \((\xi, \eta)\)(\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\))와 축 방향 좌표 \(\zeta \in [-1, 1]\)를 결합하여 \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)를 구성합니다. 보조량 \(a = 1 - \xi - \eta\)를 밑면의 세 번째 체적 좌표로 사용합니다.

1차 요소에서는 HEC-MW 입력 형식과 내부 형식의 요소 절점 번호 순서가 동일합니다. 2차 요소에서는 중간절점의 배열 규약이 다릅니다. FrontISTR는 HEC-MW 형식을 입력으로 받아들이며(모서리 절점을 요소 둘레 순서로 나열한 뒤 중간절점을 모서리 1-2, 2-3, … 순으로 나열), 요소 라이브러리의 형상 함수는 다른 절점 순서를 전제로 구현되어 있습니다.

두 형식의 차이는 메시 입력 직후 호출되는 hecmw2fstr_mesh_conv가 각 요소의 절점을 재정렬하여 해소합니다. 3차원 솔리드 요소 중 다음 두 유형이 변환됩니다.

요소 유형 변환 테이블 설명
342 (2차 사면체) Table342 10개 절점을 \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) 순서로 재정렬
352 (2차 삼각기둥) Table352 15개 절점을 \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) 순서로 재정렬

재정렬은 요소 연결 정보를 저장하는 배열에 직접 수행되므로 이후 요소 라이브러리 호출은 모두 FrontISTR 내부 절점 순서를 사용합니다. 2차 육면체 요소 362는 HEC-MW 입력과 FrontISTR 내부 형식의 중간절점 순서가 동일하므로 변환 테이블이 없습니다. 결과 출력 시에는 역변환 fstr2hecmw_mesh_conv가 쓰기 전에 HEC-MW 절점 순서를 복원하므로 사용자는 입출력 모두 HEC-MW 형식만 인식하면 됩니다. 아래 형상 함수의 절점 번호는 변환 후의 FrontISTR 내부 형식을 사용합니다.

1차 요소의 형상 함수

1차 사면체 요소(341)의 형상 함수는 체적 좌표 자체입니다.

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

1차 삼각기둥 요소(351)의 형상 함수는 밑면 삼각형의 선형 형상 함수(\(a, \xi, \eta\))와 축 방향의 선형 형상 함수(\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\))의 곱입니다.

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

1차 육면체 요소(361)의 형상 함수는 세 좌표 방향의 선형 형상 함수의 텐서곱입니다.

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

여기서 \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)는 절점 \(\alpha\)의 자연 좌표 값입니다(각 성분은 \(\pm 1\)).

2차 요소의 형상 함수

2차 사면체 요소(342)의 형상 함수는 네 개의 모서리 절점과 여섯 개의 중간절점으로 나뉩니다.

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

중간절점 5–10은 각각 모서리 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4의 중점에 대응합니다.

2차 삼각기둥 요소(352)는 여섯 개의 모서리 절점, 삼각형 면 위의 여섯 개의 중간절점, 축 방향 모서리 위의 세 개의 중간절점으로 구성됩니다.

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

중간절점 7–9는 아래쪽 삼각형(\(\zeta = -1\))의 모서리 중점, 절점 10–12는 위쪽 삼각형(\(\zeta = +1\))의 모서리 중점, 절점 13–15는 축 방향 모서리의 중점에 대응합니다.

2차 육면체 요소(362)는 Serendipity 계열의 20절점 요소입니다. 절점 \(\alpha\)의 자연 좌표 값을 \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)라고 합니다. 모서리 절점(\(\alpha = 1, \ldots, 8\), 각 성분은 \(\pm 1\))에 대해서는 다음과 같습니다.

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

중간절점(\(\alpha = 9, \ldots, 20\), 세 자연 좌표 중 하나가 \(0\)이고 나머지 두 개가 \(\pm 1\)) 중 \(\xi_\alpha = 0\)인 절점(\(\xi\) 방향의 모서리)에 대해서는 다음과 같습니다.

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

모서리 방향이 \(\eta\) 또는 \(\zeta\) 축인 중간절점도 마찬가지로 해당 자연 좌표를 제곱항으로 제거한 형식으로 주어집니다.

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