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Funções de forma para elementos sólidos 3D

Este capítulo resume os sistemas de coordenadas naturais e as formas explícitas das funções de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduzidas em Funções de forma e aproximação por elementos finitos para os elementos sólidos tridimensionais utilizados pelo FrontISTR na análise de contínuos. Os seis tipos de elemento são tetraedros de primeira/segunda ordem (341/342), prismas triangulares de primeira/segunda ordem (351/352) e hexaedros de primeira/segunda ordem (361/362). Consulte a Biblioteca de elementos na referência de funções para a ordenação dos nós e a numeração das faces no formato de malha HEC-MW.

O procedimento para construir a integração dos elementos a partir destas funções de forma e do determinante do Jacobiano segue Integração numérica. As formulações B-bar, F-bar e incompatível para o elemento 361, bem como as funções de forma para elementos de viga e casca, são abordadas em Formulações avançadas de elementos.

Sistemas de coordenadas naturais e ordenação interna dos nós

As funções de forma são definidas nas coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\) de cada elemento. Os elementos sólidos tridimensionais utilizam os três sistemas de coordenadas naturais seguintes, consoante a forma do elemento.

  • Hexaedros (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedros (341/342): coordenadas volúmicas \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), com \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) e \(L_i \ge 0\). Tomando \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) como variáveis independentes, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismas triangulares (351/352): combinam as coordenadas volúmicas \((\xi, \eta)\) do triângulo da base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) com a coordenada axial \(\zeta \in [-1, 1]\) para formar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). A grandeza auxiliar \(a = 1 - \xi - \eta\) é utilizada como terceira coordenada volúmica da base.

Para elementos de primeira ordem, a numeração dos nós do elemento é a mesma no formato de entrada HEC-MW e no formato interno. Para elementos de segunda ordem, as convenções de ordenação dos nós intermédios diferem. O FrontISTR aceita o formato HEC-MW como entrada (os nós de canto são listados em redor do elemento, seguidos pelos nós intermédios pela ordem das arestas 1-2, 2-3, …), enquanto as funções de forma da biblioteca de elementos são implementadas assumindo uma ordenação diferente dos nós.

A diferença entre os dois formatos é resolvida por hecmw2fstr_mesh_conv, chamada imediatamente após a leitura da malha, que reordena os nós de cada elemento. Entre os elementos sólidos tridimensionais, são convertidos os dois tipos seguintes.

Tipo de elemento Tabela de conversão Descrição
342 (tetraedro de segunda ordem) Table342 Reordena os 10 nós para \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma triangular de segunda ordem) Table352 Reordena os 15 nós para \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Como a reordenação é efetuada diretamente no array que armazena a conectividade dos elementos, todas as chamadas subsequentes à biblioteca de elementos utilizam a ordenação interna de nós do FrontISTR. Para o elemento hexaédrico de segunda ordem 362, não existe tabela de conversão porque a ordem dos nós intermédios na entrada HEC-MW e no formato interno do FrontISTR é a mesma. Na saída dos resultados, a conversão inversa fstr2hecmw_mesh_conv repõe a ordenação de nós HEC-MW antes da escrita, pelo que os utilizadores apenas precisam de conhecer o formato HEC-MW tanto para a entrada como para a saída. Os números de nó nas funções de forma abaixo utilizam o formato interno convertido do FrontISTR.

Funções de forma para elementos de primeira ordem

Para o elemento tetraédrico de primeira ordem (341), as funções de forma são as próprias coordenadas volúmicas:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Para o elemento de prisma triangular de primeira ordem (351), as funções de forma são produtos das funções de forma lineares do triângulo da base (\(a, \xi, \eta\)) e das funções de forma axiais lineares (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Para o elemento hexaédrico de primeira ordem (361), as funções de forma são produtos tensoriais de funções de forma lineares nas três direções de coordenadas:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Aqui, \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) são os valores das coordenadas naturais do nó \(\alpha\) (cada componente é \(\pm 1\)).

Funções de forma para elementos de segunda ordem

Para o elemento tetraédrico de segunda ordem (342), as funções de forma dividem-se entre quatro nós de canto e seis nós intermédios:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Os nós intermédios 5–10 correspondem, respetivamente, aos pontos médios das arestas 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 e 3-4.

O elemento de prisma triangular de segunda ordem (352) é constituído por seis nós de canto, seis nós intermédios nas faces triangulares e três nós intermédios nas arestas axiais:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Os nós intermédios 7–9 correspondem aos pontos médios das arestas do triângulo inferior (\(\zeta = -1\)), os nós 10–12 aos pontos médios das arestas do triângulo superior (\(\zeta = +1\)) e os nós 13–15 aos pontos médios das arestas axiais.

O elemento hexaédrico de segunda ordem (362) é um elemento de 20 nós da família Serendipity. Sejam \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) os valores das coordenadas naturais do nó \(\alpha\). Para os nós de canto (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), com cada componente \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Para os nós intermédios (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), com uma das três coordenadas naturais igual a \(0\) e as outras duas iguais a \(\pm 1\)), os nós com \(\xi_\alpha = 0\) (arestas orientadas na direção \(\xi\)) têm

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Os nós intermédios cuja direção da aresta é o eixo \(\eta\) ou \(\zeta\) são dados de forma análoga, sendo a coordenada natural correspondente eliminada pelo termo quadrático.

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