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Análise de contacto

Quando dois corpos entram em contacto, uma força de contacto \(t_c\) é transmitida através da superfície de contacto. O princípio dos trabalhos virtuais é reescrito da seguinte forma.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Aqui, \(S_c\) representa a área de contacto, e \(u^{(1)}\) e \(u^{(2)}\) representam, respetivamente, os deslocamentos dos corpos em contacto 1 e 2.

Na análise de contacto, as superfícies que podem entrar em contacto são especificadas aos pares. Uma das superfícies do par é designada superfície mestre e a outra superfície escrava. Neste método de análise mestre-escravo, as condições de restrição de contacto são assumidas da seguinte forma.

  1. Um nó escravo não penetra na superfície mestre.
  2. Quando ocorre contacto, o nó escravo fica localizado na posição de contacto e, através desse ponto de contacto, as superfícies mestre e escrava transmitem entre si a força de contacto e a força de atrito.

A discretização pelo método dos elementos finitos do último termo da Eq.\(\eqref{eq:2.2.70}\) conduz à seguinte equação.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Aqui, \(K_c\) e \(F_c\) representam, respetivamente, a matriz de rigidez de contacto e a força de contacto. As formulações de elementos finitos dos métodos Total Lagrange e Updated Lagrange incluindo as restrições de contacto são as seguintes.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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