Перейти к содержанию

Контактный анализ

Когда два тела входят в контакт, через контактную поверхность передаётся контактная сила \(t_c\). Принцип виртуальных работ переписывается следующим образом.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Здесь \(S_c\) обозначает область контакта, а \(u^{(1)}\) и \(u^{(2)}\) — перемещения контактирующих тел 1 и 2 соответственно.

В контактном анализе поверхности, которые могут вступить в контакт, задаются парой. Одна поверхность пары назначается ведущей, а другая — ведомой. В этом методе анализа «ведущая—ведомая» предполагаются следующие контактные ограничения.

  1. Ведомый узел не проникает через ведущую поверхность.
  2. При возникновении контакта ведомый узел располагается в точке контакта, а ведущая и ведомая поверхности передают друг другу контактную силу и силу трения через эту точку контакта.

Дискретизация последнего члена уравнения \(\eqref{eq:2.2.70}\) методом конечных элементов даёт следующее уравнение.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Здесь \(K_c\) и \(F_c\) обозначают соответственно контактную матрицу жёсткости и контактную силу. Конечно-элементные формулировки полного и обновлённого лагранжевых методов с учётом контактных ограничений имеют следующий вид.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

Связанные разделы