Перейти к содержанию

Упругопластичность

В этой главе описывается схема упругопластического определяющего соотношения, принятого в FrontISTR. Подробности выбора и спецификации входных данных см. в 03_material раздела функций.

Явление (пластическая деформация)

TBD (будет написано на следующем этапе).

Схема определяющего соотношения

FrontISTR использует упругопластическое определяющее соотношение, основанное на ассоциированном законе течения. Определяющее соотношение выражает связь между производной Яуманна напряжения Кирхгофа и тензором скорости деформации, а анализ деформаций использует обновлённую лагранжеву формулировку.

Предположим, что условие текучести упругопластического материала задаётся следующим образом.

Начальное условие текучести:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Последующее условие текучести:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

где

  • \(F\): функция текучести
  • \(\sigma_{y_0}\): начальное напряжение текучести
  • \(\sigma_y\): последующее напряжение текучести
  • \(\sigma\): тензор напряжений
  • \(e\): тензор малых деформаций
  • \(e^p\): тензор пластических деформаций
  • \(\overline{e}^p\): эквивалентная пластическая деформация

Предполагается, что зависимость напряжение текучести — эквивалентная пластическая деформация совпадает с зависимостью напряжение — пластическая деформация при одноосном состоянии.

Зависимость напряжение — пластическая деформация при одноосном состоянии

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

где \(H'\) — модуль деформационного упрочнения.

Зависимость эквивалентное напряжение — эквивалентная пластическая деформация

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

В общем случае последующая функция текучести является функцией температуры и работы пластической деформации, однако для простоты здесь предполагается, что она зависит только от эквивалентной пластической деформации \(\overline{e}^p\). В процессе пластического деформирования условие \(F = 0\) должно продолжать выполняться, поэтому должно выполняться следующее уравнение.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Здесь \(\dot{F}\) обозначает производную \(F\) по времени. Далее производная по времени некоторой величины \(A\) обозначается как \(\dot{A}\).

Предположим существование пластического потенциала \(\Theta\) и выразим скорость пластической деформации следующим уравнением.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Здесь \(\dot{\lambda}\) — коэффициент.

Далее, предполагая, что пластический потенциал \(\Theta\) равен функции текучести \(F\), используем следующий ассоциированный закон течения.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Подстановка этого уравнения в условие согласованности даёт следующее уравнение.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Здесь \(D\) — матрица упругости, а

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Упругопластическое соотношение напряжение — деформация можно записать следующим образом.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Если известна функция текучести \(F\) упругопластического материала, из этого выражения получается его определяющее соотношение.

Функции текучести

Ниже перечислены упругопластические функции текучести, используемые в FrontISTR.

Функция текучести фон Мизеса

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Здесь \(J_2\) — второй инвариант девиатора тензора напряжений.

Функция текучести Мора—Кулона

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Здесь \(\sigma_1, \sigma_3\) — максимальное и минимальное главные напряжения, \(c\) — сцепление, а \(\phi\) — угол внутреннего трения.

Функция текучести Друкера—Прагера

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Здесь константы материала \(\alpha\) и \(\sigma_y\) вычисляются через сцепление материала и угол трения следующим образом.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Связанные разделы