Lewati ke isi

Elastoplastisitas

Bab ini menjelaskan kerangka hukum konstitutif elastoplastik yang digunakan oleh FrontISTR. Untuk rincian pemilihan dan spesifikasi input, lihat 03_material pada bagian Fungsi.

Fenomena (Deformasi Plastik)

TBD (akan ditulis pada fase berikutnya).

Kerangka Hukum Konstitutif

FrontISTR menggunakan persamaan konstitutif elastoplastik berdasarkan associated flow rule. Persamaan konstitutif menyatakan hubungan antara laju Jaumann dari tegangan Kirchhoff dan tensor laju deformasi, sedangkan analisis deformasinya menggunakan formulasi updated Lagrange.

Misalkan kondisi luluh material elastoplastik diberikan sebagai berikut.

Kondisi luluh awal:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Kondisi luluh selanjutnya:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

dengan

  • \(F\): fungsi luluh
  • \(\sigma_{y_0}\): tegangan luluh awal
  • \(\sigma_y\): tegangan luluh selanjutnya
  • \(\sigma\): tensor tegangan
  • \(e\): tensor regangan infinitesimal
  • \(e^p\): tensor regangan plastik
  • \(\overline{e}^p\): regangan plastik ekuivalen

Hubungan tegangan luluh–regangan plastik ekuivalen diasumsikan berimpit dengan hubungan tegangan–regangan plastik pada keadaan uniaxial.

Hubungan tegangan–regangan plastik pada keadaan uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

dengan \(H'\) sebagai modulus pengerasan regangan.

Hubungan tegangan ekuivalen–regangan plastik ekuivalen

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Secara umum, fungsi luluh selanjutnya merupakan fungsi temperatur dan kerja regangan plastik, tetapi untuk penyederhanaan di sini diasumsikan hanya sebagai fungsi regangan plastik ekuivalen \(\overline{e}^p\). Selama deformasi plastik berkembang, \(F = 0\) harus tetap terpenuhi, sehingga persamaan berikut harus dipenuhi.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Di sini, \(\dot{F}\) menyatakan turunan waktu dari \(F\). Selanjutnya, turunan waktu dari suatu besaran \(A\) dinyatakan dengan \(\dot{A}\).

Asumsikan adanya potensial plastik \(\Theta\) dan nyatakan laju regangan plastik dengan persamaan berikut.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Di sini, \(\dot{\lambda}\) adalah suatu koefisien.

Selanjutnya, dengan mengasumsikan bahwa potensial plastik \(\Theta\) sama dengan fungsi luluh \(F\), digunakan associated flow rule berikut.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Mensubstitusikan persamaan ini ke kondisi konsistensi memberikan persamaan berikut.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Di sini, \(D\) adalah matriks elastisitas, dan

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Hubungan tegangan–regangan elastoplastik dapat dituliskan sebagai berikut.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Setelah fungsi luluh \(F\) dari material elastoplastik diketahui, persamaan konstitutifnya diperoleh dari bentuk ini.

Fungsi Luluh

Fungsi luluh elastoplastik yang digunakan oleh FrontISTR tercantum di bawah ini.

Fungsi Luluh Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Di sini, \(J_2\) adalah invarian kedua tensor tegangan deviatorik.

Fungsi Luluh Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Di sini, \(\sigma_1, \sigma_3\) adalah tegangan utama maksimum dan minimum, \(c\) adalah kohesi, dan \(\phi\) adalah sudut gesek internal.

Fungsi Luluh Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Di sini, konstanta material \(\alpha\) dan \(\sigma_y\) dihitung dari kohesi material dan sudut gesek sebagai berikut.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Topik Terkait