Lewati ke isi

Elastisitas Linear

Bab ini membahas hukum konstitutif (hukum Hooke) untuk material elastis linear. Untuk rincian pemilihan model dan spesifikasi input, lihat bagian fungsi 03_material.

Fenomena (Respons Elastis Linear)

Benda elastis linear adalah material yang, dalam rentang ketika regangan akibat beban cukup kecil, menunjukkan hubungan linear antara tegangan dan regangan serta respons reversibel dan tidak bergantung riwayat, di mana seluruh regangan kembali ke keadaan semula saat beban dilepas. Berbeda dari plastisitas atau creep, material ini tidak memiliki variabel internal yang merepresentasikan keadaan (seperti regangan plastis atau regangan viskos), dan tegangan ditentukan secara unik hanya oleh regangan saat ini.

Dalam rentang deformasi kecil, digunakan tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan regangan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\); dalam rentang deformasi hingga (masalah yang mencakup rotasi besar tetapi regangannya sendiri kecil), digunakan tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material St.Venant-Kirchhoff).

Hukum Konstitutif

Material Elastis Linear Isotropik

Dalam rentang deformasi kecil, hukum Hooke isotropik dinyatakan menggunakan konstanta Lamé \(\lambda, \mu\) sebagai

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Dalam bentuk komponen,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

dan kontraksi ganda dengan regangan menghasilkan \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Konstanta Lamé berhubungan dengan modulus Young \(E\) dan rasio Poisson \(\nu\) sebagai berikut:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Dalam notasi Voigt, hubungan antara vektor regangan \(\hat{\varepsilon}\) dan vektor tegangan \(\hat{\sigma}\) ditulis sebagai \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), dan matriks material tiga dimensi \(D\) adalah

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Representasi matriks ini digunakan dalam implementasi.

Material Elastis Linear Ortotropik

Untuk material yang konstanta elastisnya berbeda menurut arah sumbu utama, digunakan model ortotropik dengan sembilan konstanta independen: modulus Young pada arah sumbu utama \(E_1, E_2, E_3\), rasio Poisson antara sumbu utama \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), dan modulus geser \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Untuk bentuk eksplisit matriks \(D\), rujuk referensi standar.

Rentang Deformasi Hingga: Material St.Venant-Kirchhoff

Untuk masalah yang mencakup rotasi besar tetapi regangannya sendiri kecil, material St.Venant-Kirchhoff digunakan sebagai hukum elastis linear yang menghubungkan tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definisi konstanta Lamé \(\lambda, \mu\) sama seperti pada kasus deformasi kecil. Namun, perlu diperhatikan bahwa karena definisi pasangan tegangan-regangan berbeda, ini merupakan hukum konstitutif yang berbeda dari hukum Hooke untuk deformasi kecil.

Material Hipoelastis

Dalam metode Updated Lagrange, digunakan material hipoelastis yang menerapkan hukum elastis linear antara laju Jaumann dari tensor tegangan Kirchhoff relatif \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) dan tensor laju deformasi \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Di sini juga, definisi \(\boldsymbol{C}\) dalam konstanta Lamé sama seperti di atas, tetapi karena pasangan tegangan-regangan berbeda, ini merupakan hukum konstitutif yang berbeda. Untuk rincian bagaimana \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) diperbarui melalui prosedur integrasi waktu (integrasi Euler maju dan aproksimasi beda pusat), lihat tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reduksi untuk Analisis Dua Dimensi dan Elemen Shell

Tegangan Bidang (\(\sigma_{33} = 0\))

Untuk tegangan bidang, yang merepresentasikan pembebanan pelat tipis dan shell, diasumsikan \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), dan digunakan \(D\) dengan komponen regangan luar bidang \(\varepsilon_{33}\) dieliminasi secara aljabar:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Regangan Bidang (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Untuk regangan bidang, yang merepresentasikan penampang struktur panjang yang dikendalai pada arah ketebalan, diasumsikan \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksisimetrik

Dalam analisis aksisimetrik, yang menangani masalah yang seragam pada arah \(\theta\) dalam koordinat silinder \((r, \theta, z)\), empat komponen \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) dan \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) dipertahankan, dan

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

diperoleh.

Elemen Shell (Tegangan Bidang + Geser Transversal)

Untuk elemen shell, tegangan dalam bidang diperlakukan sebagai tegangan bidang, dan untuk komponen regangan geser transversal \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), digunakan \(\kappa\, G\) dengan faktor koreksi geser \(\kappa\) (umumnya \(\kappa = 5/6\)). Untuk formulasi rinci setiap elemen, lihat Formulasi Elemen Lanjutan. Spesifikasi pada bagian fungsi 03_material bahwa "elemen shell hanya mendukung elastisitas linear" didasarkan pada penyederhanaan ini, yaitu keadaan dalam bidang diperlakukan sebagai tegangan bidang.

Ketergantungan terhadap Temperatur

Modulus Young \(E\), rasio Poisson \(\nu\), dan koefisien muai linear \(\alpha\) umumnya ditentukan sebagai fungsi temperatur \(T\). Dalam FrontISTR, nilai dimasukkan untuk urutan terbatas titik temperatur \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), dan temperatur \(T\) selama perhitungan dievaluasi dengan interpolasi linear antara titik yang berdekatan. Untuk temperatur di luar rentang (\(T < T_1\) atau \(T > T_n\)), nilai pada titik ujung terdekat, \(T_1\) atau \(T_n\), digunakan untuk ekstrapolasi (ekstrapolasi konstan).

Untuk ketergantungan terhadap temperatur dari sifat termal dan konduksi panas (densitas, kalor jenis, dan konduktivitas termal), lihat Sifat Termal. Aturan interpolasinya sama untuk sifat-sifat tersebut.

Topik Terkait