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Élasticité linéaire

Ce chapitre traite de la loi de comportement (loi de Hooke) des matériaux élastiques linéaires. Pour les détails concernant le choix du modèle et les spécifications d'entrée, consultez la section Fonctions 03_material.

Phénomène (réponse élastique linéaire)

Un corps élastique linéaire est un matériau qui, dans une plage où la déformation sous charge est suffisamment faible, présente une relation linéaire entre contrainte et déformation ainsi qu'une réponse réversible et indépendante de l'historique, dans laquelle toute la déformation revient à son état initial lors du déchargement. Contrairement à la plasticité ou au fluage, il ne possède pas de variables internes représentant l'état (telles que la déformation plastique ou la déformation visqueuse), et la contrainte est déterminée de manière unique uniquement par la déformation actuelle.

Dans le domaine des petites déformations, on utilise la contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) et la déformation infinitésimale \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ; dans le domaine des déformations finies (problèmes comprenant de grandes rotations mais dans lesquels la déformation elle-même reste faible), on utilise la seconde contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (matériau de St. Venant-Kirchhoff).

Loi de comportement

Matériau élastique linéaire isotrope

Dans le domaine des petites déformations, la loi de Hooke isotrope s'exprime à l'aide des constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) sous la forme

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Sous forme composante,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

et la double contraction avec la déformation donne \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Les constantes de Lamé sont liées au module de Young \(E\) et au coefficient de Poisson \(\nu\) comme suit :

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

En notation de Voigt, la relation entre le vecteur de déformation \(\hat{\varepsilon}\) et le vecteur de contrainte \(\hat{\sigma}\) s'écrit \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), et la matrice de matériau tridimensionnelle \(D\) est

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Cette représentation matricielle est utilisée dans l'implémentation.

Matériau élastique linéaire orthotrope

Pour les matériaux dont les constantes élastiques diffèrent selon les directions des axes principaux, on utilise un modèle orthotrope comportant neuf constantes indépendantes : les modules de Young dans les directions principales \(E_1, E_2, E_3\), les coefficients de Poisson entre les axes principaux \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) et les modules de cisaillement \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Pour la forme explicite de la matrice \(D\), consultez les références usuelles.

Domaine des déformations finies : matériau de St. Venant-Kirchhoff

Pour les problèmes comprenant de grandes rotations mais dans lesquels la déformation elle-même reste faible, le matériau de St. Venant-Kirchhoff est utilisé comme loi élastique linéaire reliant la seconde contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) :

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Les définitions des constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) sont les mêmes que dans le cas des petites déformations. Il faut toutefois noter que, les définitions du couple contrainte-déformation étant différentes, il s'agit d'une loi de comportement différente de la loi de Hooke en petites déformations.

Matériau hypoélastique

Dans la méthode lagrangienne actualisée, un matériau hypoélastique est utilisé ; il adopte la loi élastique linéaire entre le taux de Jaumann du tenseur relatif des contraintes de Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) et le tenseur des taux de déformation \(\boldsymbol{D}\) :

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ici encore, la définition de \(\boldsymbol{C}\) à partir des constantes de Lamé est la même que ci-dessus, mais, le couple contrainte-déformation étant différent, il s'agit d'une autre loi de comportement. Pour les détails concernant la mise à jour de \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) par la procédure d'intégration temporelle (intégration d'Euler explicite et approximation par différences centrées), consultez tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Réduction pour l'analyse bidimensionnelle et les éléments de coque

Contraintes planes (\(\sigma_{33} = 0\))

Pour l'état de contraintes planes, qui représente le chargement de plaques minces et de coques, on suppose \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), et on utilise \(D\) après élimination algébrique de la composante de déformation hors plan \(\varepsilon_{33}\) :

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Déformations planes (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Pour l'état de déformations planes, qui représente la section d'une structure longue contrainte dans la direction de l'épaisseur, on suppose \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) :

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisymétrique

Dans l'analyse axisymétrique, qui traite les problèmes uniformes dans la direction \(\theta\) en coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\), les quatre composantes \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) et \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) sont conservées, et la matrice constitutive s'écrit

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ce qui donne la relation ci-dessus.

Éléments de coque (contraintes planes + cisaillement transverse)

Pour les éléments de coque, les contraintes dans le plan sont traitées comme un état de contraintes planes et, pour les composantes de déformation de cisaillement transverse \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), on utilise \(\kappa\, G\) avec le facteur de correction de cisaillement \(\kappa\) (généralement \(\kappa = 5/6\)). Pour la formulation détaillée de chaque élément, consultez Formulations avancées des éléments. La spécification de la section Fonctions 03_material selon laquelle « les éléments de coque ne prennent en charge que l'élasticité linéaire » repose sur cette simplification consistant à traiter l'état dans le plan comme un état de contraintes planes.

Dépendance à la température

Le module de Young \(E\), le coefficient de Poisson \(\nu\) et le coefficient de dilatation linéaire \(\alpha\) sont généralement spécifiés comme des fonctions de la température \(T\). Dans FrontISTR, les valeurs sont saisies pour une suite finie de points de température \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), et la valeur à la température \(T\) pendant le calcul est évaluée par interpolation linéaire entre les points adjacents. Pour les températures situées en dehors de la plage (\(T < T_1\) ou \(T > T_n\)), la valeur de l'extrémité la plus proche, \(T_1\) ou \(T_n\), est utilisée pour l'extrapolation (extrapolation constante).

Pour la dépendance à la température des propriétés thermiques et de conduction thermique (masse volumique, chaleur spécifique et conductivité thermique), consultez Propriétés thermiques. Les règles d'interpolation sont communes à ces propriétés.

Sujets connexes