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Itérations non linéaires et intégration temporelle

FrontISTR fait progresser la solution en combinant des itérations non linéaires et une intégration temporelle à chaque sous-pas, dans le cadre du contrôle des incréments de chaque étape. Cette page décrit les structures itératives situées entre le contrôle externe des étapes et le solveur linéaire interne : les itérations de Newton-Raphson, les itérations de contact, l’intégration temporelle pour l’analyse dynamique, ainsi que le cadre d’avancement temporel et d’itération non linéaire pour la conduction thermique transitoire.

Vue d’ensemble

La résolution non linéaire et l’intégration temporelle au sein d’une étape présentent une structure imbriquée composée de plusieurs boucles allant de l’extérieur vers l’intérieur. Chaque niveau joue le rôle suivant.

Niveau Rôle Page de référence principale
Boucle d’étapes Divise l’ensemble de l’analyse en plusieurs étapes et commute les conditions aux limites, les charges, le contact et l’activation des éléments. Contrôle des étapes
Boucle de sous-pas Divise une étape en incréments de temps et avance avec des incréments fixes ou automatiques et des cutbacks. Contrôle des étapes
Avancement de l’état par intégration temporelle En analyse dynamique et en conduction thermique transitoire, obtient l’état au temps suivant à partir de l’état du pas précédent. Cette page
Boucle de recherche de l’état de contact En analyse de contact, recherche les changements d’état de contact (contact/séparation) et met à jour la structure de la matrice de rigidité. Cette page
Itération externe de Lagrange augmenté Avec le contact ALAGRANGE, améliore progressivement la précision de la contrainte de contact. Cette page
Itération de Newton Résout itérativement les équations d’équilibre non linéaires par la méthode de Newton-Raphson. Cette page
Résolution du système linéaire Résout le système linéaire basé sur la matrice de rigidité tangente à chaque itération de Newton. Solveur et préconditionnement

La présence de ces niveaux dépend du type d’analyse.

Type d’analyse Intégration temporelle Recherche de l’état de contact Itération externe Itération de Newton
Analyse statique linéaire — — — —
Analyse statique non linéaire (sans contact) — — — Oui
Analyse statique non linéaire (contact SLAGRANGE) — Oui — Oui
Analyse statique non linéaire (contact ALAGRANGE) — Oui Oui Oui
Analyse dynamique, implicite Newmark-β — — Oui (si non linéaire)
Analyse dynamique, explicite Différences centrales — — —
Analyse de réponse en fréquence Superposition modale — — —
Conduction thermique transitoire Crank-Nicolson / Euler implicite — — Oui (si les propriétés du matériau dépendent de la température)
Conduction thermique stationnaire — — — Oui (si les propriétés du matériau dépendent de la température)

Pour le choix du type de contact et de l’algorithme eux-mêmes, voir Contact et intégration. Cette page décrit la manière dont l’algorithme sélectionné est organisé sous forme de boucle itérative.

Choix du schéma de résolution

La structure itérative est déterminée automatiquement à partir du type d’analyse sélectionné (Types d’analyse), de la présence ou non de non-linéarités (non-linéarité géométrique, non-linéarité du matériau ou contact) et de l’algorithme de contact (SLAGRANGE ou ALAGRANGE). L’utilisateur règle directement les limites supérieures du nombre d’itérations et les critères de convergence.

Les recommandations suivantes s’appliquent lors du réglage de ces paramètres.

  • Pour les analyses standard, la limite supérieure par défaut du nombre d’itérations est généralement suffisante. Si un problème difficile à faire converger atteint le nombre maximal d’itérations sans convergence, utilisez d’abord le cutback (Contrôle des étapes) ; n’augmentez la limite supérieure que si cela n’améliore pas la convergence.
  • Réglez les critères de convergence afin d’équilibrer la stabilité de l’analyse et le temps de calcul. Des critères plus stricts améliorent la précision de l’équilibre mais augmentent le nombre d’itérations. Dans les analyses de contact et celles faisant intervenir des multiplicateurs de Lagrange, l’association d’un critère sur l’incrément de déplacement ou d’un critère de Lagrange avec le critère sur le résidu peut améliorer la stabilité.
  • Pour les paramètres d’intégration temporelle de l’analyse dynamique (coefficients de Newmark-β), commencez par une combinaison standard de valeurs et ajustez-les lorsque vous souhaitez modifier les caractéristiques d’amortissement numérique de la réponse vibratoire.
  • Pour le schéma d’intégration temporelle en conduction thermique transitoire, utilisez Crank-Nicolson pour les problèmes où la température varie progressivement, et Euler implicite lorsque les variations brusques ou la stabilité à long terme sont plus importantes.

Itération de Newton-Raphson en analyse statique

En analyse statique non linéaire, les équations d’équilibre comportant une non-linéarité géométrique ou matérielle sont résolues itérativement par la méthode de Newton-Raphson. Chaque itération se déroule comme suit.

  1. Évaluer le vecteur résiduel \(\boldsymbol{R}\) pour la solution courante.
  2. Assembler la matrice de rigidité tangente \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Résoudre le système linéaire \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) afin d’obtenir la correction de déplacement \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Mettre à jour la solution selon \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Comparer aux critères de convergence. Si la convergence est atteinte, terminer l’itération ; sinon, revenir à l’étape 1.

Le solveur linéaire effectue la résolution du système linéaire (étape 3). Pour le choix du solveur et du préconditionneur, voir Solveur et préconditionnement.

L’itération est contrôlée à l’aide des paramètres de contrôle d’étape de !STEP. Les principales valeurs de contrôle sont les suivantes.

Rôle Paramètre
Limite supérieure du nombre d’itérations. Si la limite est atteinte sans convergence, le sous-pas fait l’objet d’un cutback. MAXITER
Critère de convergence basé sur la norme relative du résidu. CONVERG
Critère de convergence basé sur le rapport de norme de la correction de déplacement. Utilisé avec le critère de résidu afin d’améliorer la stabilité. CONVERG_DDISP
Critère de divergence pour la norme du résidu. L’itération est arrêtée lorsque cette valeur est dépassée. MAXRES

Le nombre maximal d’itérations de Newton auquel se réfèrent les décisions d’incrément automatique et de cutback dans Contrôle des étapes correspond au nombre d’itérations de Newton décrit sur cette page. Le contrôle automatique des incréments augmente l’incrément de temps après un sous-pas ayant convergé en peu d’itérations et le réduit après un sous-pas ayant nécessité de nombreuses itérations.

Itération de contact en analyse statique

En analyse de contact, l’état de contact change au cours des itérations en raison du contact, de la séparation et du glissement sur les surfaces de contact ; l’itération de Newton est donc combinée à des mises à jour de l’état de contact. La structure dépend de l’algorithme de résolution du contact.

Les deux algorithmes placent une boucle de recherche de l’état de contact au niveau le plus externe. À chaque passage dans cette boucle, l’état de contact (contact/séparation) est réévalué après convergence de l’itération de Newton interne. Si l’état a changé, la structure de la matrice de rigidité est mise à jour et l’itération interne est relancée. La boucle se termine lorsque l’état de contact est inchangé par rapport au passage précédent et que les critères de convergence du contact (critères de force de contact et de multiplicateur de Lagrange) sont satisfaits. La limite supérieure du nombre de passages est spécifiée par MAXCONTITER de !STEP.

Avec le contact SLAGRANGE, les degrés de liberté de contact sont incorporés au système linéaire au moyen de la méthode standard des multiplicateurs de Lagrange, ce qui donne une structure à deux niveaux où l’itération de Newton est placée directement à l’intérieur de la boucle de recherche de l’état de contact. Il n’y a pas d’itération de Lagrange augmenté.

Avec le contact ALAGRANGE, une itération de Lagrange augmenté est ajoutée à l’intérieur de la boucle de recherche de l’état de contact, et l’itération de Newton est effectuée à l’intérieur de celle-ci, ce qui donne une structure à trois niveaux. À chaque itération de Lagrange augmenté, la contrainte de contact est réévaluée à l’aide d’une combinaison du terme de pénalité et du multiplicateur de Lagrange, améliorant progressivement la précision de la contrainte. La limite supérieure du nombre d’itérations de Lagrange augmenté est spécifiée par AUGITER de !CONTACT_ALGO.

Les valeurs de contrôle des itérations de contact sont les suivantes.

Rôle Spécifié dans
Limite supérieure du nombre d’itérations de la boucle de recherche de l’état de contact. Utilisée à la fois pour SLAGRANGE et ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Limite supérieure du nombre d’itérations de Lagrange augmenté. Utilisée uniquement pour ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Critère de convergence de la correction du multiplicateur de Lagrange. Utilisé avec le critère de résidu dans les analyses avec contact. !STEP CONVERG_LAG

Le nombre d’itérations de contact auquel se réfèrent les décisions d’incrément automatique dans Contrôle des étapes correspond au nombre d’itérations décrit sur cette page, mises à jour de l’état de contact comprises. Les analyses dans lesquelles des contacts et séparations surviennent fréquemment tendent à exiger davantage d’itérations de contact, ce qui influe également sur les décisions d’incrément automatique et de cutback. Pour les types de contact, les définitions de paires et le choix de l’algorithme eux-mêmes, voir Contact et intégration. Pour la résolution du système linéaire contenant les degrés de liberté de contact, voir Solveur et préconditionnement.

Intégration temporelle en analyse dynamique (méthode implicite)

La méthode implicite d’analyse dynamique utilise la méthode de Newmark-β pour relier le déplacement, la vitesse et l’accélération au temps suivant à chaque pas de temps et combine ces relations avec l’équation du mouvement afin d’obtenir l’état au temps \(t + \Delta t\). La restriction de stabilité sur le pas de temps \(\Delta t\) est peu contraignante, ce qui permet de résoudre efficacement les réponses structurales dominées par les composantes de basse fréquence.

Les deux paramètres d’intégration temporelle suivants sont utilisés.

Paramètre Rôle
\(\beta\) Coefficient lié à l’interpolation temporelle du déplacement.
\(\gamma\) Coefficient lié à l’interpolation temporelle de la vitesse.

La combinaison \(\beta = 1/4\) et \(\gamma = 1/2\) est appelée méthode de l’accélération moyenne ; c’est un choix standard, inconditionnellement stable et sans amortissement numérique. Pour introduire un amortissement numérique, choisissez \(\gamma\) supérieur à \(1/2\). Pour les détails mathématiques concernant les combinaisons de paramètres, la stabilité et les caractéristiques d’erreur, voir le manuel théorique.

Lorsqu’une non-linéarité (non-linéarité géométrique, non-linéarité du matériau ou contact) est présente, une itération de Newton est effectuée à chaque pas de temps ; le système linéaire est résolu au sein de l’itération et l’état est mis à jour. Les critères de convergence utilisent CONVERG et les valeurs associées communes à l’analyse statique. En analyse dynamique avec contact, la même structure itérative que dans Itération de contact en analyse statique est incorporée à chaque pas de temps.

Le pas de temps en analyse dynamique est principalement contrôlé par les conditions temporelles de !STEP. Avec des incréments fixes, !STEP spécifie DTIME comme pas de temps et ETIME comme durée de l’étape. Les valeurs n_step et t_delta de !DYNAMIC sont traitées comme valeurs par défaut lorsque !STEP est omis et pour assurer la compatibilité ascendante. Dans la méthode implicite non linéaire, !STEP avec INC_TYPE=AUTO active les incréments automatiques et le cutback, en augmentant ou en diminuant le pas de temps selon l’état des itérations de Newton et de contact. Que des incréments fixes ou automatiques soient utilisés, choisissez le pas de temps en tenant compte à la fois de la convergence et de la précision requise.

Intégration temporelle en analyse dynamique (méthode explicite)

La méthode explicite d’analyse dynamique utilise la méthode des différences centrales pour calculer directement l’état au temps suivant à partir des seules informations de déplacement, vitesse et accélération au temps précédent. Comme aucun système d’équations simultanées n’est résolu, le coût de calcul par pas est faible. Même en présence de non-linéarité, chaque pas de temps est une mise à jour en une seule étape sans itération de Newton.

Le pas de temps possède une limite supérieure imposée par une condition de stabilité basée sur la période propre minimale du système (condition CFL). Un pas de temps dépassant cette limite entraîne la divergence de la solution numérique ; il n’est donc pas possible d’utiliser de grands pas de temps comme avec la méthode implicite. La méthode explicite est avantageuse pour des phénomènes tels que l’impact, la propagation d’ondes et le contact à grande vitesse, qui exigent intrinsèquement de petits pas de temps.

Lorsque le contact est inclus, la méthode Forward Increment Lagrange est utilisée pour imposer les contraintes de contact. Les forces de contact sont évaluées d’une manière cohérente avec la mise à jour en une seule étape de la méthode explicite.

Méthode de résolution pour l’analyse de réponse en fréquence

L’analyse de réponse en fréquence obtient directement la réponse périodique en régime permanent dans le domaine fréquentiel par la méthode de superposition modale. Elle évalue la réponse en faisant varier la fréquence d’excitation et n’a pas besoin de suivre un historique temporel par itérations. Aucune itération non linéaire ni intégration temporelle n’est effectuée.

Avant d’effectuer l’analyse de réponse en fréquence, une analyse modale doit être réalisée pour le même système et le nombre requis de modes propres doit être extrait. Seuls les modèles linéaires sont pris en charge ; l’analyse ne peut pas être effectuée lorsque la non-linéarité géométrique ou matérielle est activée. Pour le positionnement de ce type d’analyse, voir Types d’analyse.

Avancement temporel et itération non linéaire en conduction thermique transitoire

La conduction thermique transitoire possède sa propre boucle temporelle, entièrement gérée dans !HEAT. Le pas de temps est contrôlé par une voie distincte de !STEP et !AUTOINC_PARAM de l’analyse structurale et, lorsque les propriétés du matériau dépendent de la température, une itération non linéaire est effectuée à chaque pas de temps.

Le schéma d’intégration temporelle est sélectionné avec le paramètre \(\beta\) de !HEAT.

\(\beta\) Schéma Caractéristiques
0.5 Méthode de Crank-Nicolson Précision du second ordre. Convient aux problèmes où la température varie progressivement.
1.0 Méthode d’Euler implicite Précision du premier ordre. Inconditionnellement stable et assure la stabilité pour les analyses de longue durée et les variations brusques de température.

Le pas de temps est contrôlé de manière adaptative en combinant le pas de temps initial, le pas de temps minimal et la variation maximale de température par pas. Si la variation de température dépasse DELTMX après le calcul d’un pas de temps, le pas de temps est réduit et le pas est recalculé. L’analyse est interrompue si le pas de temps devient inférieur au pas de temps minimal DTMIN.

Lorsque les propriétés du matériau dépendent de la température, une itération non linéaire est effectuée à chaque pas de temps. L’itération est contrôlée comme suit.

Rôle Paramètre
Limite supérieure du nombre d’itérations non linéaires. !HEAT ITMAX
Critère de convergence. !HEAT EPS

La conduction thermique stationnaire n’utilise pas de pas de temps ; seule l’itération non linéaire est effectuée lorsque les propriétés du matériau dépendent de la température. Comme le contrôle temporel de l’analyse de conduction thermique est indépendant de !STEP de l’analyse structurale, vérifiez les réglages de !HEAT lors de l’ajustement du pas de temps.

Sujets connexes