非线性迭代与时间积分¶

FrontISTR 的分析在逐步增量控制中，于每个子步组合非线性迭代与时间积分推进求解。本页介绍位于外层步控制与内层线性求解器之间的迭代结构，即 Newton-Raphson 迭代、接触迭代、动力分析的时间积分、瞬态热传导的时间推进以及非线性迭代框架。

功能概览¶

步内进行的非线性求解与时间积分具有从外到内嵌套多个循环的结构。各层承担以下作用。

层级	作用	主要相关页面
步循环	将整个分析划分为多个步，并切换边界条件、载荷、接触和单元激活状态。	步控制
子步循环	将一个步划分为时间增量，以固定增量或自动增量、切回方式推进。	步控制
时间积分状态推进	在动力分析和瞬态热传导中，根据前一步状态求下一时刻状态。	本页
接触状态搜索循环	在接触分析中搜索接触状态（接触、分离）的变化，并更新刚度矩阵结构。	本页
增广 Lagrange 外层迭代	在 `ALAGRANGE` 接触中逐步提高接触约束精度。	本页
Newton 迭代	使用 Newton-Raphson 法迭代求解非线性平衡方程。	本页
线性方程组求解	在每次 Newton 迭代中求解基于切线刚度矩阵的线性系统。	求解器与预处理

不同分析类型中出现上述各层的范围有所不同。

分析类型	时间积分	接触状态搜索	外层迭代	Newton 迭代
线性静力分析	—	—	—	—
非线性静力分析（无接触）	—	—	—	有
非线性静力分析（`SLAGRANGE` 接触）	—	有	—	有
非线性静力分析（`ALAGRANGE` 接触）	—	有	有	有
动力分析隐式法	Newmark-β	—	—	有（非线性时）
动力分析显式法	中心差分	—	—	—
频率响应分析	模态叠加	—	—	—
瞬态热传导	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	有（材料温度相关时）
稳态热传导	—	—	—	有（材料温度相关时）

有关接触类型和算法本身的选择方法，请参阅接触与嵌入。本页介绍所选算法如何构成迭代循环。

求解方法的选择¶

迭代结构由分析类型的选择（分析类型）、是否存在非线性（几何非线性、材料非线性、接触）以及接触算法（SLAGRANGE 或 ALAGRANGE）自动决定。用户直接调整的是最大迭代次数和收敛判据。

调整指南如下。

对标准分析而言，最大迭代次数使用默认值通常即可正常工作。对于难以收敛的问题，如果出现“达到最大迭代次数仍未收敛”，应先结合使用切回（步控制）；若仍无改善，再增加上限。
收敛判据应在分析稳定性和计算时间之间权衡调整。判据越严格，平衡精度越高，但迭代次数也越多。在接触分析或包含 Lagrange 乘子的分析中，除残差判据外，同时使用位移增量判据和 Lagrange 判据可提高稳定性。
动力分析的时间积分参数（Newmark-β 系数）应从标准组合开始，仅在需要改变振动响应的数值阻尼特性时进行调整。
对于瞬态热传导，温度变化平滑的问题选用 Crank-Nicolson；对于突变明显或重视长时间稳定性的问题选用 Backward Euler。

静力分析的 Newton-Raphson 迭代¶

在非线性静力分析中，使用 Newton-Raphson 法迭代求解包含几何非线性或材料非线性的平衡方程。每次迭代按以下步骤进行。

使用当前解计算残差向量 \(\boldsymbol{R}\)。
组装切线刚度矩阵 \(\boldsymbol{K}_T\)。
求解线性系统 \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\)，得到位移修正量 \(\Delta \boldsymbol{u}\)。
按 \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) 更新解。
与收敛判据比较；若已收敛则结束迭代，否则返回步骤1。

线性系统的求解（步骤3）由线性求解器负责。求解器与预处理的选择请参阅求解器与预处理。

迭代控制通过 !STEP 的步控制参数进行。主要控制值如下。

作用	参数
最大迭代次数。达到上限仍未收敛时，将作为切回对象。	`MAXITER`
基于残差范数相对值的收敛判据。	`CONVERG`
基于位移修正量范数比的收敛判据。与残差判据并用可提高稳定性。	`CONVERG_DDISP`
残差范数的发散判据。超过该值时终止迭代。	`MAXRES`

步控制中用于自动增量和切回判定的最大 Newton 迭代次数，是指本页所述 Newton 迭代的次数。自动增量会在迭代次数较少的子步之后增大时间增量，在迭代次数较多的子步之后减小时间增量。

静力分析的接触迭代¶

在接触分析中，由于接触面的接触、分离和滑移会使接触状态在迭代过程中发生变化，因此 Newton 迭代需要与接触状态更新结合构成。其结构取决于接触求解算法。

两种算法共同点是最外层设置 接触状态搜索循环。每次循环中，先使内层 Newton 迭代收敛，然后重新评估接触状态（接触、分离）；如状态发生变化，则更新刚度矩阵结构并再次执行内层迭代。当接触状态与前一次相同，并且满足接触收敛判据（接触力、Lagrange 乘子判据）时结束循环。最大次数由 !STEP 的 MAXCONTITER 指定。

在 SLAGRANGE 接触中，采用标准 Lagrange 乘子法将接触自由度并入线性系统，在接触状态搜索循环内直接放置 Newton 迭代，形成两层结构。不存在增广 Lagrange 迭代。

在 ALAGRANGE 接触中，在接触状态搜索循环内再设置增广 Lagrange 迭代，并在其内部进行 Newton 迭代，形成三层结构。每次增广 Lagrange 迭代都会通过罚项与 Lagrange 乘子的组合重新评估接触约束，逐步提高约束精度。增广 Lagrange 迭代的最大次数由 !CONTACT_ALGO 的 AUGITER 指定。

接触迭代的控制值如下。

作用	指定位置
接触状态搜索循环的最大次数。`SLAGRANGE` / `ALAGRANGE` 均使用。	`!STEP` 的 `MAXCONTITER`
增广 Lagrange 迭代的最大次数。仅用于 `ALAGRANGE`。	`!CONTACT_ALGO` 的 `AUGITER`
针对 Lagrange 乘子修正量的收敛判据。在含接触分析中与残差判据并用。	`!STEP` 的 `CONVERG_LAG`

步控制的自动增量判定所参照的接触迭代次数，是指包含本页所述接触状态更新在内的迭代次数。在接触与分离频繁发生的分析中，接触迭代次数往往增加，并影响自动增量和切回的判定。接触类型、接触对定义和算法选择本身请参阅接触与嵌入。含接触自由度的线性系统求解方法请参阅求解器与预处理。

动力分析的时间积分（隐式法）¶

动力分析的隐式法使用 Newmark-β 法，在各时间步中关联下一时刻的位移、速度和加速度，并与运动方程结合求得时刻 \(t + \Delta t\) 的状态。相对于时间步长 \(\Delta t\)，其稳定性约束较宽松，可高效求解由低频成分占主导的结构响应。

时间积分参数有以下两个。

参数	作用
\(\beta\)	与位移时间插值相关的系数。
\(\gamma\)	与速度时间插值相关的系数。

\(\beta = 1/4\)、\(\gamma = 1/2\) 的组合称为平均加速度法，是无条件稳定且无数值阻尼的标准选择。如需引入数值阻尼，可取 \(\gamma\) 大于 \(1/2\)。参数组合及其稳定性、误差特性的数学细节请参阅理论手册。

如果包含非线性（几何非线性、材料非线性、接触），则在每个时间步内进行 Newton 迭代，在迭代中求解线性系统并更新状态。收敛判据使用与静力分析相同的 CONVERG 等。在伴随接触的动力分析中，静力分析的接触迭代所述相同迭代结构被嵌入时间步内。

动力分析的时间步长基本通过 !STEP 的时间条件控制。固定增量时，用 !STEP 的 DTIME 指定时间步长，ETIME 指定步时间宽度。!DYNAMIC 的 n_step 和 t_delta 在省略 !STEP 时或为保持向后兼容时作为默认值处理。对于非线性隐式法，可通过 !STEP 的 INC_TYPE=AUTO 启用自动增量和切回，并根据 Newton 迭代或接触迭代情况增减时间步长。无论采用固定增量还是自动增量，都应从收敛性和所需精度两方面设置时间步长。

动力分析的时间积分（显式法）¶

动力分析的显式法采用中心差分法，仅根据前一时刻的位移、速度和加速度信息直接计算下一时刻状态。由于不求解联立方程，每一步的计算成本较低。即使包含非线性，每个时间步也不进行 Newton 迭代，而是单阶段更新。

时间步长存在基于系统最小固有周期的稳定性条件（CFL 条件）上限。超过该上限时数值解会发散，因此不能像隐式法那样采用较大的时间步长。对于冲击、波传播和高速接触等本来就需要很小时间步长的现象，显式法更有优势。

伴随接触时，使用 Forward Increment Lagrange 法处理接触约束，并以与显式法单阶段更新一致的方式评估接触力。

频率响应分析的求解方法¶

频率响应分析采用模态叠加法，在频域中直接求取周期稳态响应。该方法通过改变激励频率来评估响应，无需通过迭代追踪时程，也不进行非线性迭代或时间积分。

执行频率响应分析前，需要先对同一系统进行模态分析，并提取所需数量的固有模态。仅支持线性模型；启用几何非线性或材料非线性时无法执行。有关该分析类型的定位，请参阅分析类型。

瞬态热传导的时间推进与非线性迭代¶

瞬态热传导具有在 !HEAT 内部完成的独立时间循环。它通过与结构分析的 !STEP 和 !AUTOINC_PARAM 不同的路径控制时间步长；当材料属性随温度变化时，在每个时间步内部进行非线性迭代。

时间积分方案通过 !HEAT 的 \(\beta\) 参数选择。

\(\beta\)	方案	特性
0.5	Crank-Nicolson 法	二阶精度。适用于温度变化平滑的问题。
1.0	Backward Euler 法	一阶精度。无条件稳定，在长时间分析或温度急剧变化时易于保证稳定性。

时间步长由初始时间步长、最小时间步长以及单步最大温度变化组合进行自适应控制。每个时间步计算后，如果温度变化超过 DELTMX，则减小时间步长并重新计算。当时间步长低于最小时间步长 DTMIN 时终止分析。

当材料属性随温度变化时，在每个时间步内部进行非线性迭代。迭代控制如下。

作用	参数
非线性迭代上限。	`!HEAT` 的 `ITMAX`
收敛判据。	`!HEAT` 的 `EPS`

稳态热传导不使用时间步长，仅在材料属性随温度变化时进行非线性迭代。由于热传导分析的时间控制独立于结构分析的 !STEP，调整时间步长时应检查 !HEAT 的设置。