热传导方程
本章整理 FrontISTR 所处理的热传导控制方程（连续体层面）及其边界条件。时间离散化和 FEM 离散化分别交由离散化部分（L3d）和求解算法部分（L3e：solution_methods/05_transient_heat）说明。
控制方程
连续体中的热传导方程如下。
\[\begin{equation}
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} =
\frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right)
+ \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q
\label{eq:gov_he_main}
\end{equation}\]
其中，\(\rho=\rho(x)\) 表示质量密度，\(c=c(x,T)\) 表示比热，\(T=T(x,t)\) 表示温度，\(k=k(x,T)\) 表示热导率，\(Q=Q(x,T,t)\) 表示发热量，\(x\) 表示位置，\(t\) 表示时间。\(k_x, k_y, k_z\) 是各向异性热传导中各方向的热导率。
关于具体热物性（温度依赖性、各向异性），请参阅热物性。
边界条件
设所考虑的区域为 \(S\)，其边界为 \(\Gamma\)。假设在 \(\Gamma\) 上各处均给定 Dirichlet 型或 Neumann 型边界条件之一，则边界条件如下。
\[\begin{equation}
T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1
\label{eq:gov_he_dirichlet}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2
\label{eq:gov_he_neumann}
\end{equation}\]
其中，假设 \(T_1\)、\(q\) 的函数形式已知。\(q\) 是从边界流出的热流密度。边界热流密度 \(q\) 由以下三种分量构成。
\[\begin{equation}
q=-q_s+q_c+q_r
\label{eq:gov_he_flux}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
q_s=q_s(x,t)
\label{eq:gov_he_qs}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
q_c=hc(T-Tc)
\label{eq:gov_he_qc}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
q_r=hr(T^4-Tr^4)
\label{eq:gov_he_qr}
\end{equation}\]
其中，\(q_s\) 为分布热流密度，\(q_c\) 为对流换热产生的热流密度，\(q_r\) 为辐射换热产生的热流密度。
其中，\(Tc=Tc(x,t)\) 为对流换热环境温度，\(hc=hc(x,t)\) 为对流换热系数，\(Tr=Tr(x,t)\) 为辐射换热环境温度，\(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) 为辐射换热系数，\(\varepsilon\) 为发射率，\(\sigma\) 为 Stefan-Boltzmann 常数，\(F\) 为形状系数。
关于在输入文件中的指定方法，请参阅功能部分边界条件与载荷。
弱形式
与结构分析的耦合边界
相关项目