频率响应分析
问题设置
频率响应分析用于在外力随时间呈谐波变化时，在频域中评估稳态下系统的响应幅值和相位。由于所处理的运动方程在无阻尼和有阻尼情况下采用不同的框架，本章首先从无阻尼自由振动导出固有模态，并将其作为模态基底展开有阻尼条件下的谐波响应。
无阻尼自由振动与固有模态
不考虑阻尼时，运动方程如下式所示。
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + K U = 0
\label{eq:2.6.1}
\end{equation}\]
按各固有模态展开，
\[\begin{equation}
U = U_j e^{i \omega_j t}
\label{eq:2.6.2}
\end{equation}\]
将其代入式\(\eqref{eq:2.6.1}\) ，得到
\[\begin{equation}
K U_j = \omega_j^2 M U_j
\label{eq:2.6.3}
\end{equation}\]
该广义特征值问题的数值解法（带移位逆迭代法、Lanczos 法）在模态分析 中说明。本节整理所得固有频率和固有模态中在后续谐波响应展开中使用的性质。
固有频率的实数性
下面证明该固有频率为实数。令\(\omega_j^2 = \lambda_j\) ，对式\(\eqref{eq:2.6.3}\) 取复共轭，得到式\(\eqref{eq:2.6.4}\) 。
\[\begin{equation}
K U_j = \lambda_j M U_j
K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J}
\label{eq:2.6.4}
\end{equation}\]
对其乘以\(\overline{U}_J^T\) ，得到
\[\begin{equation}
U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J
U_j^T M \overline{U}_J
\overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j
\label{eq:2.6.5}
\end{equation}\]
由式\(\eqref{eq:2.6.5}\) 可得
\[\begin{equation}
0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j
\label{eq:2.6.6}
\end{equation}\]
这里，由于质量矩阵是正定对称矩阵，对于非零特征向量有
\[\begin{equation}
\overline{U_J} M U_j > 0
\label{eq:2.6.7}
\end{equation}\]
因此
\[\begin{equation}
\lambda_j =\overline{\lambda_J}
\label{eq:2.6.8}
\end{equation}\]
所以\(\omega_j^2 = \lambda_j\) 为实数。
固有模态的正交性与归一化
考虑两个不同的模态。
\[\begin{equation}
K U_i = \lambda_i M U_i
K U_j = \lambda_j M U_j
\label{eq:2.6.9}
\end{equation}\]
由此得到
\[\begin{equation}
( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.10}
\end{equation}\]
当特征值不同时，
\[\begin{equation}
U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.11}
\end{equation}\]
即不同的固有模态关于质量矩阵正交。
对于同一模态，通过关于质量矩阵进行归一化（式\(\eqref{eq:2.6.12}\) ），可使后续处理更为方便。
\[\begin{equation}
U_i^T M U_i = 1
\label{eq:2.6.12}
\end{equation}\]
有阻尼条件下的谐波响应
下面给出考虑阻尼时频率响应分析的公式。所处理的运动方程如式\(\eqref{eq:2.6.13}\) 所示。
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F
\label{eq:2.6.13}
\end{equation}\]
这里假定阻尼项为 Rayleigh 型，可表示为式\(\eqref{eq:2.6.14}\) 。
\[\begin{equation}
C = \alpha M + \beta K
\label{eq:2.6.14}
\end{equation}\]
利用模态分析得到的特征向量，可将时刻t 的位移向量按式\(\eqref{eq:2.6.15}\) 展开。
\[\begin{equation}
U(t) = \sum_i b_i(t) U_i
\label{eq:2.6.15}
\end{equation}\]
当外力项为谐振子形式
\[\begin{equation}
F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.16}
\end{equation}\]
时，求\(b_{j}(t)\) 。由于运动方程\(\eqref{eq:2.6.13}\) 成为受迫振动形式，因此
\[\begin{equation}
b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.17}
\end{equation}\]
成立。求\(b_{j}(t)\) 展开系数的实部和虚部，可得到式\(\eqref{eq:2.6.18}i\) 和式\(\eqref{eq:2.6.19}\) 的形式。
\[\begin{equation}
b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.18}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.19}
\end{equation}\]
因此得到上述结果。
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