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Análise de resposta em frequência

Formulação do problema

A análise de resposta em frequência avalia, no domínio da frequência, a amplitude e a fase da resposta do sistema em regime permanente quando a força externa varia harmonicamente no tempo. Como a equação de movimento considerada assume formulações diferentes com e sem amortecimento, este capítulo primeiro deriva os modos naturais a partir da vibração livre sem amortecimento e, usando-os como base modal, desenvolve a resposta harmônica com amortecimento.

Vibração livre sem amortecimento e modos naturais

Quando o amortecimento não é considerado, a equação de movimento é dada por

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Expandindo-a em cada modo natural,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Substituindo esta expressão na Equação \(\eqref{eq:2.6.1}\),

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

obtém-se esta expressão. Os métodos numéricos para este problema generalizado de autovalores (iteração inversa com deslocamento e método de Lanczos) são tratados em Análise modal. Nesta seção, são organizadas as propriedades das frequências naturais e dos modos naturais obtidos que serão utilizadas posteriormente na expansão da resposta harmônica.

Natureza real das frequências naturais

Demonstra-se a seguir que esta frequência natural é real. Definindo \(\omega_j^2 = \lambda_j\) e tomando o conjugado complexo da Equação \(\eqref{eq:2.6.3}\), obtém-se a Equação \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplicando por \(\overline{U}_J^T\),

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

obtém-se esta expressão. A partir da Equação \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

resulta esta expressão. Como a matriz de massa é simétrica definida positiva, para um autovetor não nulo vale

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Logo,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

e, portanto, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) é real.

Ortogonalidade e normalização dos modos naturais

Considere agora dois modos diferentes.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Disso resulta

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

e, quando os autovalores são diferentes,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Assim, modos naturais diferentes são ortogonais em relação à matriz de massa. Para o mesmo modo, a normalização em relação à matriz de massa (Equação \(\eqref{eq:2.6.12}\)) oferece a vantagem de simplificar o tratamento.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Resposta harmônica com amortecimento

A seguir, apresenta-se a formulação da análise de resposta em frequência considerando amortecimento. A equação de movimento considerada é mostrada na Equação \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Assume-se que o termo de amortecimento seja do tipo Rayleigh e possa ser expresso como na Equação \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Usando os autovetores obtidos pela análise modal, o vetor de deslocamento pode ser expandido no instante t como na Equação \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Nesse caso, quando o termo de força externa é dado pela forma de oscilador harmônico

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

determina-se \(b_{j}(t)\). Como a equação de movimento \(\eqref{eq:2.6.13}\) assume a forma de vibração forçada,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

é válida esta expressão. Calculando as partes real e imaginária dos coeficientes de expansão de \(b_{j}(t)\), obtêm-se as formas das Equações \(\eqref{eq:2.6.18}i\) e \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

resulta esta expressão.

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