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Tratamento das condições de contorno geométricas

No Método de Newton-Raphson, a equação linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) é resolvida em cada iteração, mas as condições de contorno geométricas (restrições de deslocamento) ainda não estão incorporadas nessa equação. Para os graus de liberdade aos quais são impostas restrições de deslocamento \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), este capítulo mostra como modificar a matriz de rigidez \(\boldsymbol{K}\) e o vetor residual \(\boldsymbol{R}\) para que o deslocamento após a iteração atinja o valor prescrito. Restrições multiponto (MPC) e restrições não lineares associadas ao contato são tratadas separadamente; consulte Restrições multiponto e Contato.

Política de manter as restrições de deslocamento como variáveis desconhecidas

O deslocamento de um nó submetido a uma condição de contorno geométrica deixa de ser uma variável desconhecida e fica fixado no valor prescrito \(\bar{u}_i\). Esses graus de liberdade poderiam ser tratados como constantes e eliminados da equação linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); no entanto, o FrontISTR mantém os graus de liberdade restringidos no mesmo vetor de correção \(d\boldsymbol{u}\) dos demais graus de liberdade e impõe as restrições modificando \(\boldsymbol{K}\) e \(\boldsymbol{R}\).

Com essa abordagem, a dimensão da matriz de coeficientes e a ordem dos graus de liberdade não mudam conforme a presença ou ausência de restrições, portanto não é necessário eliminar variáveis e recompactar as linhas e colunas deixadas vazias. Como essa recompactação é trabalhosa em uma implementação que armazena a matriz de coeficientes em formato de matriz esparsa, o FrontISTR adota a segunda abordagem, na qual as restrições são impostas apenas pela atualização da matriz de coeficientes e do lado direito.

Valor-alvo das correções de Newton-Raphson

Para um grau de liberdade \(i\) com restrição de deslocamento, a correção \(du_i\) obtida na iteração de Newton-Raphson deve satisfazer

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1ª iteração}) \\ 0 & (\text{2ª iteração e seguintes}) \end{cases} \]

Para isso, modificam-se \(\boldsymbol{K}\) e \(\boldsymbol{R}\). Com essa modificação, o incremento de deslocamento atinge o valor prescrito \(\bar{u}_i\) na primeira iteração e, a partir da segunda iteração, a correção torna-se \(0\), mantendo o valor prescrito.

Procedimento de modificação da matriz e do vetor residual

O valor-alvo descrito na seção anterior é obtido pelas duas modificações a seguir, mantendo a forma da equação linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Diagonalização da linha \(i\): o coeficiente de \(du_i\), isto é, o termo diagonal \(K_{ii}\), é substituído por \(1\); todos os demais coeficientes \(K_{ij}\ (j \not= i)\) são substituídos por \(0\); e o lado direito é definido como \(R_i \to d\bar{u}_i\). Assim, a equação da linha \(i\) torna-se \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Transferência a partir das linhas \(j(\not= i)\): para cada linha \(j(\not= i)\), se \(K_{ji} \not= 0\), o termo \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) é transferido para o lado direito. Isto é, subtrai-se \(K_{ji} d\bar{u}_i\) do lado direito, e o coeficiente de \(du_i\), \(K_{ji}\), é substituído por \(0\).

Em forma de componentes, as equações antes e depois da modificação correspondem da seguinte maneira.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Denotando a matriz de coeficientes modificada e o lado direito, respectivamente, por \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), a equação linear final a ser resolvida é

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Se houver vários graus de liberdade restringidos, as modificações 1 e 2 acima são aplicadas sucessivamente a cada grau de liberdade restringido \(i\).

Escopo do processamento na implementação com matriz esparsa

Na implementação, a matriz de coeficientes \(\boldsymbol{K}\) é armazenada em formato de matriz esparsa. Portanto, o processamento das linhas \(j(\not= i)\) no procedimento 2 da seção anterior é realizado apenas nas linhas que possuem componentes não nulos na coluna \(i\), isto é, nos graus de liberdade dos nós conectados por elementos ao grau de liberdade restringido \(i\). Para graus de liberdade sem conexão, \(K_{ji} = 0\), portanto a transferência do termo não altera o lado direito. Essa limitação permite concluir o tratamento das restrições apenas com operações locais em relação ao número total de nós.

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