Movimento, deformação e medida de deformação¶

Configurações de referência e atual¶

Definição das configurações¶

Para distinguir qual forma no tempo é usada como base para descrever as grandezas físicas, este manual utiliza duas configurações.

Configuração de referência: forma não deformada no início da análise (tempo \(0\)), também chamada de configuração inicial. Um ponto na configuração de referência é representado pela coordenada material \(\boldsymbol{X}\), com volume \(V\) e superfície \(S\).
Configuração atual: forma deformada no instante \(t\). Um ponto na configuração atual é representado pela coordenada espacial \(\boldsymbol{x}\), com volume \(v\) e superfície \(s\).

O movimento é representado como um mapeamento entre essas duas configurações, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), e o deslocamento é definido por \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notação dependente da configuração (maiúsculas/minúsculas)¶

A forma maiúscula ou minúscula de um símbolo distingue a configuração à qual a grandeza física pertence.

Grandezas pertencentes à configuração de referência são escritas com símbolos maiúsculos (por exemplo, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Grandezas pertencentes à configuração atual são escritas com símbolos minúsculos (por exemplo, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Grandezas que abrangem ambas as configurações, como a primeira tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), usam a notação convencional e são identificadas explicitamente no texto quando necessário.
Na teoria de pequenas deformações, a distinção entre as duas configurações desaparece; por isso, são usados apenas símbolos minúsculos (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradientes nas configurações de referência e atual¶

A notação e o significado diferem conforme a configuração em relação à qual a derivada espacial é tomada.

Gradiente na configuração de referência \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiente em relação às coordenadas materiais. Exemplo: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradiente na configuração atual \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiente em relação às coordenadas espaciais. Exemplo: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Eles se relacionam por \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Para a convenção das derivadas temporais (derivada material no tempo \(\dot{(\cdot)}\)), consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos.

Descrição do movimento¶

Mapeamento do movimento e descrições material/espacial¶

Se um contínuo for considerado como um conjunto de pontos materiais rotulados por suas posições \(\boldsymbol{X}\) no instante \(0\), o movimento é representado por um mapeamento \(\phi\) que associa a cada ponto material \(\boldsymbol{X}\) sua posição \(\boldsymbol{x}\) no instante \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Sob a convenção de que a configuração de referência é a configuração inicial, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Duas descrições são distinguidas conforme a escolha das variáveis independentes.

Descrição material (descrição Lagrangiana): representa grandezas físicas como funções de \((\boldsymbol{X}, t)\). Na mecânica dos sólidos, é uma escolha natural porque a configuração de referência é fornecida como uma forma fixa.
Descrição espacial (descrição Euleriana): representa grandezas físicas como funções de \((\boldsymbol{x}, t)\). É a descrição padrão na mecânica dos fluidos.

A análise estrutural do FrontISTR baseia-se fundamentalmente na descrição material, mas o método Updated Lagrange também usa grandezas da descrição espacial porque a configuração atual é usada como a nova configuração de referência.

Deslocamento, velocidade e aceleração¶

Como indicado na seção anterior, o deslocamento \(\boldsymbol{u}\) é definido por \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Não se faz hipótese sobre sua magnitude, de modo que deformações finitas estão incluídas. Os vetores velocidade e aceleração são definidos como derivadas materiais no tempo de \(\boldsymbol{u}\) mantendo fixo o ponto material:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Essas equações definem a velocidade e a aceleração.

Gradiente de deformação e tensores de deformação geométrica¶

Tensor gradiente de deformação¶

A grandeza fundamental na mecânica do contínuo com deformações finitas é o tensor gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\). Ele é o mapeamento linear que leva um elemento de linha infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) da configuração de referência a um elemento de linha infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) na configuração atual, e é definido como o gradiente do mapeamento do movimento em relação às coordenadas materiais:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Assim definido (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) no estado não deformado. \(\boldsymbol{F}\) é amplamente usado para definir deformação e tensão e para transformar grandezas físicas entre configurações.

Razão de volume¶

A razão entre um volume infinitesimal \(dV\) na configuração de referência e o volume infinitesimal correspondente \(dv\) na configuração atual é chamada de razão de volume \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

A invertibilidade do contínuo exige \(J > 0\). A conservação da massa é expressa por \(\rho_0 = J\rho\).

Tensores de deformação de Cauchy-Green à direita e à esquerda¶

Como o gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\) inclui rotação de corpo rígido, as medidas da deformação propriamente dita usam grandezas das quais a rotação de corpo rígido foi eliminada. O tensor de deformação de Cauchy-Green à direita \(\boldsymbol{C}\) (configuração de referência) e o tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda \(\boldsymbol{b}\) (configuração atual) são definidos por

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Ambos são tensores simétricos e possuem os mesmos autovalores (os quadrados dos alongamentos principais). Os invariantes principais das funções de energia de deformação hiperelástica são expressos usando esses tensores.

Tensores de deformação¶

Tensor de deformação de Green-Lagrange¶

Como medida de deformação referida à configuração de referência, o tensor de deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) é definido por

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

É um tensor simétrico que representa a variação do produto interno de vetores infinitesimais na configuração de referência, é invariante sob rotação de corpo rígido e satisfaz \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) no estado não deformado. Usando \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), obtém-se

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Isso expressa a deformação como soma dos termos de primeira e segunda ordem do gradiente de deslocamento; o termo de segunda ordem representa a não linearidade geométrica. No método Total Lagrange, ela é usada no par de trabalho conjugado \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor de deformação de Almansi¶

Como medida de deformação referida à configuração atual, o tensor de deformação de Almansi \(\boldsymbol{e}\) é definido por

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Ele se relaciona com a deformação de Green-Lagrange por \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor de deformação infinitesimal¶

Quando o gradiente de deslocamento é pequeno (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), o termo de segunda ordem da deformação de Green-Lagrange pode ser desprezado. Como então a distinção entre as duas configurações desaparece, ela se reduz ao tensor de deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\), com o gradiente escrito em coordenadas espaciais:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

O FrontISTR usa essa medida de deformação em análise estática linear, análise modal, análise de resposta em frequência e análise dinâmica linear. A análise de deformações finitas usa \(\boldsymbol{E}\) no método Total Lagrange e o tensor taxa de deformação \(\boldsymbol{D}\) referido à configuração atual no método Updated Lagrange.