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Funções de forma e aproximação por elementos finitos

Para tratar computacionalmente a forma fraca do princípio dos trabalhos virtuais, o domínio do corpo é dividido em um número finito de elementos, e as coordenadas dos pontos materiais, o deslocamento e a função de teste dentro de cada elemento são interpolados a partir dos valores nodais e das funções de forma. As derivadas espaciais das funções de forma são tratadas em Derivadas espaciais das funções de forma, a discretização da forma fraca em Discretização do trabalho virtual interno, e as formas específicas das funções de forma para cada tipo de elemento em Sistema de numeração dos elementos e biblioteca de funções de forma e seções subsequentes.

Particionamento do domínio e soma das integrais por elemento

O domínio \(\Omega_0\) na configuração de referência e o domínio \(\Omega\) na configuração atual são aproximados pelas uniões dos elementos \(\Omega^e_0\) e \(\Omega^e\), respectivamente:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) é o número do elemento, e as fronteiras dos elementos são compartilhadas entre elementos adjacentes.) Isso decompõe as integrais de volume e superfície do princípio dos trabalhos virtuais em somas de integrais sobre elementos individuais:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(O mesmo se aplica à configuração atual substituindo \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) e \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Daqui em diante, a avaliação da forma fraca se reduz à construção de integrais elemento a elemento.

Interpolação usando valores nodais e funções de forma (elementos isoparamétricos)

A cada elemento \(\Omega^e_0\) são atribuídos \(n_e\) nós. Sejam \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) as coordenadas na configuração de referência e os deslocamentos nodais do nó de elemento \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Os vetores nodais do elemento \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) e \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) são formados organizando esses valores; para o elemento \(e\), eles contêm apenas os componentes dos nós que constituem o elemento, extraídos dos vetores nodais globais \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) é o número total de nós).

Usando como parâmetros as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\), que são as coordenadas locais dentro do elemento, as funções de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolam as coordenadas materiais, o deslocamento e a função de teste dentro do elemento usando as mesmas funções de forma (elemento isoparamétrico e método de Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

As funções de forma são construídas para satisfazer as duas propriedades seguintes, e a geometria do elemento é escolhida de modo que o mapeamento \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) das coordenadas naturais para as coordenadas materiais seja biunívoco dentro do elemento:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) é o ponto em coordenadas naturais correspondente ao nó \(\alpha\), e \(\delta_{\alpha\beta}\) é o delta de Kronecker.) A primeira equação garante a reprodução de translação de corpo rígido, e a segunda garante que o valor interpolado coincida com o valor nodal em cada nó. As formas específicas de \(n_e\) e \(N_\alpha^e\) para cada tipo de elemento são fornecidas em Sistema de numeração dos elementos e biblioteca de funções de forma e seções subsequentes. Para evitar notação excessivamente complexa, a dependência do tipo de elemento é representada pelo sobrescrito \(e\) associado ao elemento.

Com as regras de interpolação acima, o integrando da forma fraca pode ser expresso apenas em termos dos valores nodais do elemento \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) e de \(N_\alpha^e\). A deformação, por outro lado, é derivada do deslocamento interpolado e da relação deformação-deslocamento, enquanto a tensão é derivada dessa deformação e da lei constitutiva do material; essas grandezas não são interpoladas diretamente dos valores nodais. Elas são avaliadas nos pontos de integração dentro do elemento (Integração numérica).

Regra de ordenação dos vetores nodais globais

As grandezas físicas atribuídas aos nós são dispostas no vetor nodal global em ordem crescente de número do nó → grau de liberdade. Se, no nó \(\alpha\), o componente do grau de liberdade \(i\) for denotado por \(u_{i\alpha}\), então, em três dimensões (\(i=1,2,3\)) e duas dimensões (\(i=1,2\)), respectivamente,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

As coordenadas \(\boldsymbol{X}^n\) e a função de teste \(\delta\boldsymbol{u}^n\) seguem a mesma ordenação. Daqui em diante, as derivações em forma matricial e vetorial são escritas usando o caso tridimensional como representante.

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