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आकार फलन और सीमित तत्व सन्निकटन

आभासी कार्य के सिद्धांत के weak form को संगणकीय रूप से संभालने के लिए body domain को सीमित संख्या में elements में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक element के भीतर material-point coordinates, displacement तथा test function को nodal values और shape functions से interpolate किया जाता है। Shape functions के spatial derivatives आकार फलनों के स्थानिक अवकलज में, weak form का discretization आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण में, और प्रत्येक element type के shape functions के विशिष्ट रूप तत्व संख्या प्रणाली और आकार फलन लाइब्रेरी तथा उसके बाद के अनुभागों में दिए गए हैं।

Domain का विभाजन और element-wise integrals का योग

Reference configuration का domain \(\Omega_0\) और current configuration का domain \(\Omega\) क्रमशः elements \(\Omega^e_0\) और \(\Omega^e\) के unions से approximate किए जाते हैं:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) element number है और element boundaries आसन्न elements द्वारा साझा की जाती हैं।) इससे आभासी कार्य के सिद्धांत में volume और surface integrals को individual elements पर integrals के योग में विभाजित किया जा सकता है:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Current configuration के लिए भी यही लागू होता है, जहाँ \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), और \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) प्रतिस्थापित किए जाते हैं।) आगे weak form का evaluation element-by-element integrals के निर्माण तक सीमित हो जाता है।

Nodal values और shape functions द्वारा interpolation (Isoparametric elements)

प्रत्येक element \(\Omega^e_0\) को \(n_e\) nodes दिए जाते हैं। Element node \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) के reference-configuration coordinates और nodal displacements को \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) मानें। इन मानों को क्रम में रखने से element nodal vectors \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) और \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) बनते हैं; element \(e\) के लिए इनमें केवल उस element को बनाने वाले nodes के components होते हैं, जिन्हें global nodal vectors \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) से निकाला जाता है (\(n_g\) कुल nodes की संख्या है)।

Element के स्थानीय coordinates के रूप में natural coordinates \(\boldsymbol{r}\) को parameters मानते हुए, shape functions \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) material coordinates, displacement और test function को समान shape functions द्वारा interpolate करते हैं (isoparametric element और Galerkin method):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Shape functions को निम्न दो गुणों को संतुष्ट करने के लिए बनाया जाता है, और element geometry इस प्रकार चुनी जाती है कि natural coordinates से material coordinates तक mapping \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) element के भीतर one-to-one हो:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) natural coordinates में node \(\alpha\) के corresponding point को दर्शाता है और \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker delta है।) पहला समीकरण rigid-body translation को पुनरुत्पादित करना सुनिश्चित करता है और दूसरा यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक node पर interpolated value nodal value के समान हो। प्रत्येक element type के लिए \(n_e\) और \(N_\alpha^e\) के विशिष्ट रूप तत्व संख्या प्रणाली और आकार फलन लाइब्रेरी तथा बाद के अनुभागों में दिए गए हैं। संकेतन को अनावश्यक रूप से जटिल होने से बचाने के लिए element type पर निर्भरता को element-wise superscript \(e\) द्वारा दर्शाया जाता है।

ऊपर के interpolation rules के साथ weak form का integrand केवल element nodal values \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) और \(N_\alpha^e\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरी ओर strain, interpolated displacement और strain-displacement relation से प्राप्त होता है, जबकि stress उस strain और material constitutive law से प्राप्त होता है; इन quantities को nodal values से सीधे interpolate नहीं किया जाता। इन्हें element के भीतर integration points पर evaluate किया जाता है (संख्यात्मक समाकलन)।

Global nodal vectors का ordering rule

Nodes को दी गई physical quantities को global nodal vector में node number → degree of freedom के ascending order में व्यवस्थित किया जाता है। यदि node \(\alpha\) पर degree-of-freedom component \(i\) को \(u_{i\alpha}\) से दर्शाया जाए, तो तीन dimensions (\(i=1,2,3\)) और दो dimensions (\(i=1,2\)) में क्रमशः:

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Coordinates \(\boldsymbol{X}^n\) और test function \(\delta\boldsymbol{u}^n\) भी यही ordering अपनाते हैं। आगे matrix और vector रूप की derivations को प्रतिनिधि रूप से three-dimensional case का उपयोग करके लिखा जाता है।

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