Przejdź do treści

Funkcje kształtu i aproksymacja metodą elementów skończonych

Aby numerycznie obsłużyć słabą postać zasady pracy wirtualnej, obszar ciała dzieli się na skończoną liczbę elementów, a współrzędne punktów materialnych, przemieszczenie i funkcję testową wewnątrz każdego elementu interpoluje się z wartości węzłowych i funkcji kształtu. Pochodne przestrzenne funkcji kształtu omówiono w Pochodnych przestrzennych funkcji kształtu, dyskretyzację słabej postaci w Dyskretyzacji wirtualnej pracy sił wewnętrznych, a konkretne postacie funkcji kształtu dla poszczególnych typów elementów w Systemie numeracji elementów i bibliotece funkcji kształtu oraz kolejnych sekcjach.

Podział domeny i sumy całek po elementach

Domenę \(\Omega_0\) w konfiguracji odniesienia oraz domenę \(\Omega\) w konfiguracji bieżącej aproksymuje się odpowiednio jako sumy elementów \(\Omega^e_0\) i \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) jest numerem elementu, a granice elementów są współdzielone przez sąsiednie elementy). W ten sposób całki objętościowe i powierzchniowe w zasadzie pracy wirtualnej rozkładają się na sumy całek po poszczególnych elementach:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Analogicznie dla konfiguracji bieżącej, zastępując \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) oraz \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) W dalszej części ocena słabej postaci sprowadza się do konstruowania całek osobno dla każdego elementu.

Interpolacja z użyciem wartości węzłowych i funkcji kształtu (elementy izoparametryczne)

Każdemu elementowi \(\Omega^e_0\) przypisuje się \(n_e\) węzłów. Niech współrzędne w konfiguracji odniesienia i przemieszczenia węzłowe węzła elementu \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) będą oznaczone przez \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Wektory węzłowe elementu \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) i \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) tworzy się przez uporządkowanie tych wartości; dla elementu \(e\) zawierają one wyłącznie składowe węzłów tworzących element, wyodrębnione z globalnych wektorów węzłowych \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) jest całkowitą liczbą węzłów).

Przyjmując współrzędne naturalne \(\boldsymbol{r}\), czyli lokalne współrzędne wewnątrz elementu, jako parametry, funkcje kształtu \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolują współrzędne materialne, przemieszczenie i funkcję testową wewnątrz elementu przy użyciu tych samych funkcji kształtu (element izoparametryczny i metoda Galerkina):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Funkcje kształtu konstruuje się tak, aby spełniały następujące dwie własności, a geometrię elementu dobiera się tak, aby odwzorowanie \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) ze współrzędnych naturalnych do materialnych było jednoznaczne wewnątrz elementu:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) jest punktem we współrzędnych naturalnych odpowiadającym węzłowi \(\alpha\), a \(\delta_{\alpha\beta}\) jest deltą Kroneckera.) Pierwsze równanie gwarantuje odtworzenie translacji ciała sztywnego, a drugie gwarantuje zgodność wartości interpolowanej z wartością węzłową w każdym węźle. Konkretne postacie \(n_e\) i \(N_\alpha^e\) dla każdego typu elementu podano w Systemie numeracji elementów i bibliotece funkcji kształtu oraz kolejnych sekcjach. Aby uniknąć rozbudowanej notacji, zależność od typu elementu oznacza się indeksem górnym \(e\) przypisanym do elementu.

Przy powyższych regułach interpolacji funkcję podcałkową słabej postaci można wyrazić wyłącznie za pomocą wartości węzłowych elementu \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) oraz \(N_\alpha^e\). Odkształcenie jest natomiast wyznaczane z interpolowanego przemieszczenia i zależności odkształcenie–przemieszczenie, a naprężenie z tego odkształcenia i prawa konstytutywnego materiału; wielkości te nie są bezpośrednio interpolowane z wartości węzłowych. Są wyznaczane w punktach całkowania wewnątrz elementu (Całkowanie numeryczne).

Reguła uporządkowania globalnych wektorów węzłowych

Wielkości fizyczne przypisane do węzłów są umieszczane w globalnym wektorze węzłowym rosnąco według numer węzła → stopień swobody. Jeśli w węźle \(\alpha\) składową stopnia swobody \(i\) oznacza się przez \(u_{i\alpha}\), to odpowiednio w trzech wymiarach (\(i=1,2,3\)) i dwóch wymiarach (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Współrzędne \(\boldsymbol{X}^n\) i funkcja testowa \(\delta\boldsymbol{u}^n\) mają takie samo uporządkowanie. W dalszych wyprowadzeniach macierzowych i wektorowych jako przypadek reprezentatywny przyjmuje się przypadek trójwymiarowy.

Tematy powiązane