Przejdź do treści

Całkowanie numeryczne

Wektory sił wewnętrznych elementu \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) oraz macierz sztywności elementu \(\boldsymbol{K}^e\) otrzymane w sekcjach Dyskretyzacja wewnętrznej pracy wirtualnej i Zewnętrzna praca wirtualna i montaż równania globalnego mają postać całek po obszarze elementu \(\Omega^e\) lub \(\Omega^e_0\). FrontISTR oblicza je numerycznie za pomocą kwadratury Gaussa.

Kwadratura Gaussa i zmiana zmiennych

Kwadratura Gaussa przybliża całkę po obszarze odniesienia \(\Xi\) kombinacją liniową wartości funkcji podcałkowej w punktach całkowania \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) oraz wag \(w_i\). Zastosowanie jej do obszaru elementu \(\Omega^e\) wymaga zmiany zmiennych przez odwzorowanie \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), co daje

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

gdzie \(n_q\) jest liczbą punktów całkowania, a \(J_{\xi_i}\) jest wyznacznikiem Jacobiego transformacji. Obszar odniesienia \(\Xi\) jest definiowany dla każdego typu elementu (dla heksaedru \([-1,1]^3\); dla trójkątów, tetraedrów i klinów — odpowiadające im kształty odniesienia), natomiast punkty całkowania \(\boldsymbol{\xi}_i\) i wagi \(w_i\) są podane w postaci tabel numerycznych. Całki powierzchniowe są obsługiwane w ten sam sposób przez odwzorowanie ściany elementu z dwuwymiarowego obszaru odniesienia.

Poniżej pokazano reprezentatywne liczby punktów całkowania stosowane w FrontISTR (zgodność z typami elementów opisano w sekcji Schemat numeracji elementów i biblioteka funkcji kształtu).

Typ elementu Reguła kwadratury Liczba punktów całkowania
4-węzłowy tetraedr (tet4n) reguła 1-punktowa 1
10-węzłowy tetraedr (tet10n) reguła 4-punktowa 4
6-węzłowy graniastosłup trójkątny (prism6n) reguła 2-punktowa 2
15-węzłowy graniastosłup trójkątny (prism15n) reguła 9-punktowa 9
8-węzłowy heksaedr (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
20-węzłowy heksaedr (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
4-węzłowy czworokąt (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
8-węzłowy czworokąt (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
3-węzłowy trójkąt (tri3n) reguła 1-punktowa 1
6-węzłowy trójkąt (tri6n) reguła 3-punktowa 3

Dla elementów heksaedrycznych, czworokątnych i liniowych stosuje się iloczyny tensorowe reguły Gaussa-Legendre'a w każdym kierunku współrzędnych. Dla trójkątów, tetraedrów i graniastosłupów trójkątnych stosuje się specjalne reguły dostosowane do geometrii typu simplex (układy punktów całkujące wielomiany dokładnie na samym trójkącie).

Zastosowanie do całkowania elementu

W całkowaniu elementu współrzędne naturalne \(\boldsymbol{r}\) są używane jako współrzędne obszaru odniesienia (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), a odwzorowanie do współrzędnych fizycznych jest dane przez interpolację współrzędnych węzłów za pomocą funkcji kształtu. W zależności od wyboru konfiguracji odniesienia (Ramy analizy przyrostowej) stosuje się następujące sformułowania.

Metoda Total Lagrangian (całkowanie po konfiguracji odniesienia \(\Omega^e_0\)): odwzorowanie i Jacobian mają postać

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a siła wewnętrzna elementu i macierz sztywności są przybliżane jako

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Wszystkie wielkości \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) są obliczane w punkcie całkowania \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Updated Lagrangian (całkowanie po konfiguracji aktualnej \(\Omega^e\)): odwzorowanie i Jacobian mają postać

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a jako przybliżenia stosuje się

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

.

Jedyną różnicą między tymi dwoma sformułowaniami jest to, czy do odwzorowania przekazywane są współrzędne węzłów \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\), czy \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); punkty całkowania, wagi i struktura pętli po punktach całkowania są wspólne.

Całkowanie pełne i zredukowane

Całkowanie wykorzystujące liczbę punktów całkowania wystarczającą do dokładnego całkowania stopnia wielomianu funkcji podcałkowej nazywa się całkowaniem pełnym, natomiast całkowanie wykorzystujące o jeden poziom mniej punktów całkowania nazywa się całkowaniem zredukowanym. Całkowanie zredukowane stosuje się w celu ograniczenia blokowania ścinania i blokowania objętościowego, ale wymaga ono obsługi niepożądanych modów deformacji, takich jak mody hourglass. Liczbę punktów całkowania dla każdego typu elementu oraz wybór między całkowaniem pełnym i zredukowanym opisano w sekcji Schemat numeracji elementów i biblioteka funkcji kształtu i kolejnych sekcjach oraz w Zaawansowanych sformułowaniach elementów.

Tematy powiązane