Przejdź do treści

Równanie przewodnictwa ciepła

W tym rozdziale zestawiono równanie rządzące przewodnictwem ciepła analizowanym przez FrontISTR na poziomie ośrodka ciągłego oraz jego warunki brzegowe. Dyskretyzację w czasie i dyskretyzację MES pozostawiono odpowiednio części dotyczącej dyskretyzacji (L3d) i części dotyczącej algorytmów rozwiązania (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Równanie rządzące

Równanie przewodnictwa ciepła w ośrodku ciągłym ma następującą postać.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Tutaj \(\rho=\rho(x)\) oznacza gęstość masową, \(c=c(x,T)\) ciepło właściwe, \(T=T(x,t)\) temperaturę, \(k=k(x,T)\) przewodność cieplną, \(Q=Q(x,T,t)\) generację ciepła, \(x\) położenie, a \(t\) czas. \(k_x, k_y, k_z\) są przewodnościami cieplnymi w odpowiednich kierunkach dla anizotropowego przewodnictwa ciepła.

Szczegółowe właściwości cieplne, w tym zależność od temperatury i anizotropię, opisano w Właściwościach cieplnych.

Warunki brzegowe

Niech rozważany obszar będzie oznaczony przez \(S\), a jego brzeg przez \(\Gamma\). Przy założeniu, że w każdym punkcie \(\Gamma\) zadany jest warunek brzegowy typu Dirichleta albo typu Neumanna, warunki brzegowe mają następującą postać.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Zakłada się, że postacie funkcyjne \(T_1\) i \(q\) są znane. \(q\) jest strumieniem ciepła opuszczającym brzeg. Brzegowy strumień ciepła \(q\) składa się z następujących trzech składowych.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Tutaj \(q_s\) jest zadanym rozłożonym strumieniem ciepła, \(q_c\) strumieniem ciepła wynikającym z konwekcji, a \(q_r\) strumieniem ciepła wynikającym z promieniowania.

Ponadto \(Tc=Tc(x,t)\) jest temperaturą otoczenia dla wymiany ciepła przez konwekcję, \(hc=hc(x,t)\) współczynnikiem przejmowania ciepła przez konwekcję, \(Tr=Tr(x,t)\) temperaturą otoczenia dla wymiany ciepła przez promieniowanie, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) współczynnikiem wymiany ciepła przez promieniowanie, \(\varepsilon\) emisyjnością, \(\sigma\) stałą Stefana-Boltzmanna, a \(F\) współczynnikiem konfiguracji.

Sposób określania tych warunków w pliku wejściowym opisano w Warunkach brzegowych i obciążeniach w dokumentacji funkcji.

Postać słaba

Sprzężenie z analizą konstrukcji

Tematy powiązane