Przejdź do treści

Zaawansowane formulacje elementów

Standardowa formulacja przemieszczeniowa przedstawiona w Formulacji trójwymiarowych elementów bryłowych wykazuje nadmierną sztuczną sztywność, zwaną blokowaniem (blokowaniem objętościowym lub blokowaniem ścinania), gdy jest stosowana do materiałów prawie nieściśliwych lub cienkościennych konstrukcji zdominowanych przez zginanie. Aby temu zapobiec, FrontISTR udostępnia metody B-bar i F-bar, które zastępują jedynie część objętościową macierzy B lub gradientu deformacji; elementy niezgodne z wewnętrznymi stopniami swobody; mieszane elementy u-p, w których ciśnienie jest traktowane jako niezależne pole niewiadome; oraz elementy powłokowe MITC i elementy belkowe przeznaczone dla konstrukcji płytowych i belkowych.

W tym rozdziale podsumowano formulacje tych zaawansowanych elementów i elementów konstrukcyjnych na poziomie poszczególnych elementów.

Metoda B-bar

Gdy 8-węzłowy liniowy element sześciościenny jest używany dla materiału prawie nieściśliwego, pole odkształceń wewnątrz elementu może pozostawać w konflikcie z warunkiem stałej objętości, powodując nadmierną sztywność zwaną blokowaniem objętościowym. Metoda B-bar łagodzi to nadmierne ograniczenie przez zastąpienie składowych macierzy B odpowiedzialnych za rozszerzenie objętościowe wartościami wyznaczonymi w środku elementu [Hughes1980].

W środku elementu \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) niech macierz B obliczona z pochodnych przestrzennych funkcji kształtu będzie oznaczona przez \(\bar{\boldsymbol{B}}\); w punkcie całkowania \(\boldsymbol{r}\) niech zwykła macierz B będzie oznaczona przez \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). W zależności przemieszczenie–odkształcenie dla węzła \(\alpha\) i stopnia swobody \(i\) składowe odkształcenia objętościowego \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) są modyfikowane przez dodanie

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Dla składowych ścinania \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) używana jest zwykła \(\boldsymbol{B}\). Macierz sztywności elementu i wektor sił wewnętrznych są składane przy użyciu otrzymanej macierzy B-bar.

FrontISTR udostępnia tę formulację specjalnie dla 8-węzłowego liniowego elementu sześciościennego (ID elementu 361; zob. System numeracji elementów) i można ją stosować w formulacjach małych deformacji, Total Lagrange oraz Updated Lagrange.

Metoda F-bar

Przy dużych deformacjach zmiana objętości wchodzi nieliniowo przez gradient deformacji \(\boldsymbol{F}\). Metoda F-bar [deSouzaNeto1996] stosuje na poziomie gradientu deformacji zabieg przeciw blokowaniu objętościowemu analogiczny do metody B-bar.

Niech stosunek objętości gradientu deformacji wyznaczony w środku elementu \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) będzie równy \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), a stosunek objętości w punkcie całkowania niech będzie równy \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradient deformacji w punkcie całkowania zastępuje się przez

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Daje to \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), dzięki czemu stosunek objętości w całym elemencie zostaje dopasowany do wartości w środku elementu. Zastąpiona \(\bar{\boldsymbol{F}}\) jest używana do wyznaczania naprężeń i konstrukcji macierzy odkształcenie–przemieszczenie, a styczna sztywność elementu obejmuje dodatkowe składniki związane z tym zastąpieniem.

FrontISTR implementuje metodę F-bar specjalnie dla 8-węzłowego liniowego elementu sześciościennego i może ona być stosowana zarówno dla małych deformacji, jak i nieliniowej geometrii Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elementy niezgodne

8-węzłowy liniowy element sześciościenny nie ma modów odkształcenia wymaganych do zginania i wykazuje blokowanie zginania w problemach zdominowanych przez zginanie. Elementy niezgodne [Taylor1976] wprowadzają dodatkowe mody przemieszczeń wewnątrz elementu w celu skompensowania tego braku.

Oprócz przemieszczeń węzłowych elementu \(\boldsymbol{u}^e\) wprowadza się stopnie swobody modów niezgodnych \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), istniejące wyłącznie wewnątrz elementu, jako 3 kierunki × 3 mody na element, a pole przemieszczeń aproksymuje się jako

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Dla współrzędnych naturalnych \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) niezgodne funkcje kształtu przyjmuje się jako \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) oraz \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Nie gwarantują one ciągłości na granicach elementów, ale dodają przestrzeń wewnętrzną zdolną odtwarzać odkształcenia związane z modami zginania.

Sztywność elementu jest najpierw składana w postaci blokowej zewnętrzne DOF/wewnętrzne DOF

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po złożeniu w tej postaci kondensacja statyczna eliminuje wewnętrzne stopnie swobody za pomocą \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), dając sztywność elementu obejmującą wyłącznie zewnętrzne stopnie swobody

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

która jest przekazywana do składania globalnego.

FrontISTR implementuje element niezgodny specjalnie dla 8-węzłowego liniowego elementu sześciościennego (C3D8IC) i można go stosować w formulacjach małych deformacji, Total Lagrange oraz Updated Lagrange.

Mieszane elementy U-P

Podczas gdy metody B-bar i F-bar korygują składową objętościową w ramach formulacji przemieszczeniowej, mieszany element u-p (U-P) wykorzystuje formulację mieszaną [Bathe1996], w której ciśnienie \(\lambda\) jest wprowadzane jako pole niewiadome niezależne od przemieszczenia. Dla materiałów prawie nieściśliwych, takich jak materiały gumopodobne ze współczynnikiem Poissona bardzo bliskim 0.5 lub metale po odkształceniu plastycznym, wymuszanie warunku stałej objętości wyłącznie za pomocą pola przemieszczeń powoduje blokowanie objętościowe; traktowanie ciśnienia jako niezależnej zmiennej łagodzi to ograniczenie.

Naprężenie rozdziela się na składową dewiatorową i ciśnieniową jako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Tutaj \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) jest dewiatorową macierzą sprężystości uzyskaną przez usunięcie z macierzy sprężystości części objętościowej proporcjonalnej do modułu objętościowego \(K\). Ciśnienie \(\lambda\) i odkształcenie objętościowe \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) są powiązane warunkiem przez ściśliwość \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Dyskretyzacja z przemieszczeniem \(\boldsymbol{u}\) i ciśnieniem \(\lambda\) jako niewiadomymi prowadzi do sprzężonego układu elementu

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

gdzie \(\mathbf{K}_{uu}\) zawiera dewiatorowy wkład sprężysty oraz, dla dużych deformacji, sztywność geometryczną; \(\mathbf{K}_{up}\) sprzęga odkształcenie objętościowe i ciśnienie; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) jest składnikiem stabilizacji ciśnienia (\(\boldsymbol{N}_p\) jest funkcją kształtu ciśnienia). Ponieważ stopnie swobody ciśnienia są wewnętrzne dla elementu,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

w tej postaci wykonuje się kondensację statyczną, a efektywna sztywność obejmująca wyłącznie zewnętrzne (przemieszczeniowe) stopnie swobody jest przekazywana do składania globalnego.

FrontISTR implementuje element U-P specjalnie dla 8-węzłowego liniowego elementu sześciościennego, z jednym stopniem swobody ciśnienia na element (stałym w obrębie elementu). Można go stosować w formulacjach małych deformacji, Total Lagrange oraz Updated Lagrange. W Updated Lagrange naprężenie dewiatorowe jest aktualizowane z użyciem obiektywnej prędkości naprężenia (typu Jaumann/Hughes-Winget), a następnie ciśnienie \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) jest narzucane przy użyciu wartości uzyskanej przez kondensację statyczną.

Elementy powłokowe

Elementy powłokowe oparte na teorii płyt/powłok Reissnera-Mindlina są stosowane do cienkościennych konstrukcji płytowych i powłokowych. Wraz ze zmniejszaniem grubości niskiego rzędu przemieszczeniowe elementy płytowe/powłokowe zawyżają poprzeczne odkształcenie ścinające przez mechanizm analogiczny do blokowania objętościowego (blokowanie ścinania), powodując nadmierny wzrost sztywności dla modów zginania. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] unika tego problemu przez ponowne próbkowanie wyłącznie składowych odkształcenia ścinającego w zdefiniowanych punktach wiążących elementu i interpolację tych wartości z powrotem w całym elemencie.

Węzły elementu powłokowego MITC leżą na powierzchni środkowej, a każdy węzeł ma sześć stopni swobody: trzy składowe translacyjne i trzy składowe obrotowe względem układu współrzędnych normalnego do powierzchni środkowej. Sztywność elementu wyznacza się przez trójwymiarowe całkowanie Gaussa po naturalnych współrzędnych powierzchni środkowej i kierunku grubości, a grubość \(h\) jest podawana jako właściwość elementu podczas wyznaczania odpowiedzi konstytutywnej.

FrontISTR udostępnia MITC3 (ID elementu 731), MITC4 (741) i MITC9 (743), reprezentowane przez pojedynczą warstwę powierzchni środkowej, a także warstwowe elementy powłokowe MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 węzłów, 3 DOF na węzeł) i MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 węzłów, 3 DOF na węzeł), których węzły są rozmieszczone w dwóch warstwach przez grubość. W warstwowych elementach powłokowych stopnie swobody węzłów obejmują tylko trzy składowe translacyjne, natomiast mody zginania odpowiadające obrotowym stopniom swobody są reprezentowane przez układ dwóch warstw.

Elementy belkowe

Elementy liniowe, takie jak dźwigary i konstrukcje ramowe, są dyskretyzowane elementami belkowymi. FrontISTR wykorzystuje formulację belki Timoshenki, która uwzględnia deformację postaciową i wyraża zarówno zginanie, jak i ścinanie jako funkcje translacyjnych i obrotowych stopni swobody.

Każdy węzeł belki ma sześć stopni swobody: trzy składowe translacyjne i trzy składowe obrotowe względem osi belki oraz osi poprzecznych. Sztywność elementu wyznacza się przez jednowymiarowe całkowanie numeryczne wzdłuż osi belki. Pole przekroju \(A\) i drugie momenty pola \(I\) w kierunkach zginania i skręcania są podawane jako właściwości przekroju belki i wraz z modułem Younga materiału \(E\) oraz modułem ścinania \(G\) określają sztywność osiową, zginania, skręcania i ścinania.

FrontISTR udostępnia 2-węzłowy prosty element belkowy (ID elementu 611) oraz 4-węzłowy hybrydowy element bryłowo-belkowy o geometrii czworościennej, reprezentowany przez 3 węzły (641, dla mieszanych stopni swobody).

Tematy powiązane