Ruch, deformacja i odkształcenie¶

Konfiguracja odniesienia i konfiguracja bieżąca¶

Definicja konfiguracji¶

Aby rozróżnić, który kształt w czasie jest podstawą opisu wielkości fizycznych, w tym podręczniku używa się dwóch konfiguracji.

Konfiguracja odniesienia: nieodkształcony kształt na początku analizy (w chwili \(0\)), nazywany również konfiguracją początkową. Punkt w konfiguracji odniesienia jest reprezentowany przez współrzędną materialną \(\boldsymbol{X}\), a objętość i powierzchnia są oznaczane odpowiednio przez \(V\) i \(S\).
Konfiguracja bieżąca: odkształcony kształt w chwili \(t\). Punkt w konfiguracji bieżącej jest reprezentowany przez współrzędną przestrzenną \(\boldsymbol{x}\), a objętość i powierzchnia są oznaczane odpowiednio przez \(v\) i \(s\).

Ruch jest reprezentowany jako odwzorowanie pomiędzy tymi dwiema konfiguracjami, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), a przemieszczenie definiuje się jako \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notacja zależna od konfiguracji (wielkie/małe litery)¶

Wielkość litery symbolu rozróżnia konfigurację, do której należy dana wielkość fizyczna.

Wielkości należące do konfiguracji odniesienia zapisuje się wielkimi symbolami (na przykład \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Wielkości należące do konfiguracji bieżącej zapisuje się małymi symbolami (na przykład \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Wielkości obejmujące obie konfiguracje, takie jak pierwsze naprężenie Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{P}\), używają konwencjonalnej notacji i w razie potrzeby są jawnie identyfikowane w tekście.
W teorii małych odkształceń rozróżnienie między dwiema konfiguracjami zanika, dlatego używa się tylko symboli małymi literami (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienty względem konfiguracji odniesienia i bieżącej¶

Notacja i znaczenie różnią się zależnie od konfiguracji, względem której wykonywana jest pochodna przestrzenna.

Gradient względem konfiguracji odniesienia \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient względem współrzędnych materialnych. Przykład: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient względem konfiguracji bieżącej \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient względem współrzędnych przestrzennych. Przykład: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Są one powiązane zależnością \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Konwencję pochodnych czasowych (materialna pochodna czasowa \(\dot{(\cdot)}\)) opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych.

Opis ruchu¶

Odwzorowanie ruchu oraz opis materialny/przestrzenny¶

Jeśli kontinuum traktuje się jako zbiór punktów materialnych oznaczonych ich położeniem \(\boldsymbol{X}\) w chwili \(0\), ruch jest reprezentowany przez odwzorowanie \(\phi\), które każdemu punktowi materialnemu \(\boldsymbol{X}\) przyporządkowuje jego położenie \(\boldsymbol{x}\) w chwili \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Przy konwencji, że konfiguracją odniesienia jest konfiguracja początkowa, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Rozróżnia się dwa opisy zależnie od wyboru zmiennych niezależnych.

Opis materialny (opis Lagrange’a): przedstawia wielkości fizyczne jako funkcje \((\boldsymbol{X}, t)\). W mechanice ciała stałego jest to naturalny wybór, ponieważ konfiguracja odniesienia jest dana jako stały kształt.
Opis przestrzenny (opis Eulera): przedstawia wielkości fizyczne jako funkcje \((\boldsymbol{x}, t)\). Jest to standardowy opis w mechanice płynów.

Analiza strukturalna FrontISTR zasadniczo opiera się na opisie materialnym, jednak metoda zaktualizowana Lagrange’a wykorzystuje również wielkości w opisie przestrzennym, ponieważ konfiguracja bieżąca jest używana jako nowa konfiguracja odniesienia.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie¶

Jak podano w poprzedniej sekcji, przemieszczenie \(\boldsymbol{u}\) definiuje się przez \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Nie przyjmuje się żadnego założenia co do jego wielkości, dlatego obejmuje ono duże odkształcenia. Wektory prędkości i przyspieszenia definiuje się jako materialne pochodne czasowe \(\boldsymbol{u}\) przy ustalonym punkcie materialnym:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Równania te definiują prędkość i przyspieszenie.

Gradient deformacji i tensory deformacji¶

Tensor gradientu deformacji¶

Podstawową wielkością w mechanice kontinuum przy dużych odkształceniach jest tensor gradientu deformacji \(\boldsymbol{F}\). Jest to odwzorowanie liniowe, które odwzorowuje nieskończenie mały element liniowy \(d\boldsymbol{X}\) w konfiguracji odniesienia na nieskończenie mały element liniowy \(d\boldsymbol{x}\) w konfiguracji bieżącej, i jest definiowane jako gradient odwzorowania ruchu względem współrzędnych materialnych:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Przy takiej definicji (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) w stanie nieodkształconym \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) jest szeroko używany do definiowania odkształcenia i naprężenia oraz do transformacji wielkości fizycznych między konfiguracjami.

Stosunek objętości¶

Stosunek nieskończenie małej objętości \(dV\) w konfiguracji odniesienia do odpowiadającej jej nieskończenie małej objętości \(dv\) w konfiguracji bieżącej jest nazywany stosunkiem objętości \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Odwracalność kontinuum wymaga \(J > 0\). Zasada zachowania masy jest wyrażona jako \(\rho_0 = J\rho\).

Prawy i lewy tensor deformacji Cauchy’ego-Greena¶

Ponieważ gradient deformacji \(\boldsymbol{F}\) obejmuje obrót ciała sztywnego, miary samej deformacji wykorzystują wielkości, z których usunięto obrót ciała sztywnego. Prawy tensor deformacji Cauchy’ego-Greena \(\boldsymbol{C}\) (konfiguracja odniesienia) i lewy tensor deformacji Cauchy’ego-Greena \(\boldsymbol{b}\) (konfiguracja bieżąca) są zdefiniowane jako

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Oba są tensorami symetrycznymi i mają te same wartości własne (kwadraty głównych rozciągnięć). Niezmienniki główne funkcji energii odkształcenia materiałów hipersprężystych wyraża się za pomocą tych tensorów.

Tensory odkształcenia¶

Tensor odkształcenia Greena-Lagrange’a¶

Jako miarę odkształcenia odniesioną do konfiguracji odniesienia tensor odkształcenia Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\) definiuje się przez

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Jest to tensor symetryczny reprezentujący zmianę iloczynu skalarnego nieskończenie małych wektorów w konfiguracji odniesienia, niezmienniczy względem obrotu ciała sztywnego, i spełnia \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) w stanie nieodkształconym. Użycie \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) daje

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Wyraża to odkształcenie jako sumę składników pierwszego i drugiego rzędu gradientu przemieszczenia; składnik drugiego rzędu reprezentuje nieliniowość geometryczną. W metodzie całkowitej Lagrange’a jest używany jako para sprzężona energetycznie \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor odkształcenia Almansiego¶

Jako miarę odkształcenia odniesioną do konfiguracji bieżącej tensor odkształcenia Almansiego \(\boldsymbol{e}\) definiuje się przez

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Jest on związany z odkształceniem Greena-Lagrange’a zależnością \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor odkształcenia nieskończenie małego¶

Gdy gradient przemieszczenia jest mały (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), składnik drugiego rzędu odkształcenia Greena-Lagrange’a można pominąć. Ponieważ rozróżnienie między dwiema konfiguracjami wówczas zanika, wyrażenie redukuje się do tensora odkształcenia nieskończenie małego \(\boldsymbol{\varepsilon}\), przy czym gradient zapisuje się we współrzędnych przestrzennych:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR używa tej miary odkształcenia w liniowej analizie statycznej, analizie modalnej, analizie odpowiedzi częstotliwościowej i liniowej analizie dynamicznej. Analiza dużych odkształceń używa \(\boldsymbol{E}\) w metodzie całkowitej Lagrange’a oraz tensora szybkości odkształcenia \(\boldsymbol{D}\) odniesionego do konfiguracji bieżącej w metodzie zaktualizowanej Lagrange’a.