Przejdź do treści

Iteracje nieliniowe i całkowanie w czasie

FrontISTR prowadzi rozwiązanie, łącząc iteracje nieliniowe i całkowanie w czasie w każdym podkroku w ramach sterowania przyrostami każdego kroku. Na tej stronie opisano struktury iteracyjne znajdujące się między zewnętrznym sterowaniem krokami a wewnętrznym solverem liniowym: iteracje Newtona-Raphsona, iteracje kontaktu, całkowanie w czasie dla analizy dynamicznej oraz ramy postępu czasu i iteracji nieliniowych w nieustalonym przewodzeniu ciepła.

Przegląd

Rozwiązanie nieliniowe i całkowanie w czasie wewnątrz kroku mają strukturę zagnieżdżoną, składającą się z wielu pętli od zewnętrznych do wewnętrznych. Każda warstwa pełni następującą rolę.

Warstwa Rola Główna strona referencyjna
Pętla kroków Dzieli całą analizę na wiele kroków i przełącza warunki brzegowe, obciążenia, kontakt oraz aktywację elementów. Sterowanie krokami
Pętla podkroków Dzieli jeden krok na przyrosty czasu i prowadzi obliczenia przy użyciu przyrostów stałych lub automatycznych oraz cutback. Sterowanie krokami
Aktualizacja stanu przez całkowanie w czasie W analizie dynamicznej i nieustalonym przewodzeniu ciepła wyznacza stan w następnym czasie na podstawie stanu z poprzedniego kroku. Ta strona
Pętla wyszukiwania stanu kontaktu W analizie kontaktowej wyszukuje zmiany stanu kontaktu (kontakt/rozdzielenie) i aktualizuje strukturę macierzy sztywności. Ta strona
Zewnętrzna iteracja rozszerzonego Lagrange’a Dla kontaktu ALAGRANGE stopniowo zwiększa dokładność spełnienia więzów kontaktu. Ta strona
Iteracja Newtona Iteracyjnie rozwiązuje nieliniowe równania równowagi metodą Newtona-Raphsona. Ta strona
Rozwiązanie układu liniowego Rozwiązuje układ liniowy oparty na stycznej macierzy sztywności w każdej iteracji Newtona. Solver i wstępne uwarunkowanie

To, które z tych warstw występują, zależy od typu analizy.

Typ analizy Całkowanie w czasie Wyszukiwanie stanu kontaktu Iteracja zewnętrzna Iteracja Newtona
Liniowa analiza statyczna — — — —
Nieliniowa analiza statyczna (bez kontaktu) — — — Tak
Nieliniowa analiza statyczna (kontakt SLAGRANGE) — Tak — Tak
Nieliniowa analiza statyczna (kontakt ALAGRANGE) — Tak Tak Tak
Analiza dynamiczna, metoda niejawna Newmark-β — — Tak (gdy występuje nieliniowość)
Analiza dynamiczna, metoda jawna Różnice centralne — — —
Analiza odpowiedzi częstotliwościowej Superpozycja modalna — — —
Nieustalone przewodzenie ciepła Crank-Nicolson / Euler wsteczny — — Tak (gdy właściwości materiału zależą od temperatury)
Ustalone przewodzenie ciepła — — — Tak (gdy właściwości materiału zależą od temperatury)

Sposób wyboru typu kontaktu i samego algorytmu opisano w Kontakcie i osadzaniu. Na tej stronie opisano, w jaki sposób wybrany algorytm jest zorganizowany jako pętla iteracyjna.

Wybór schematu rozwiązania

Struktura iteracyjna jest ustalana automatycznie na podstawie wybranego typu analizy (Typy analiz), obecności lub braku nieliniowości (nieliniowość geometryczna, materiałowa lub kontakt) oraz algorytmu kontaktu (SLAGRANGE albo ALAGRANGE). Użytkownik bezpośrednio dostosowuje górne limity liczby iteracji i kryteria zbieżności.

Przy dostrajaniu tych ustawień obowiązują następujące wskazówki.

  • W typowych analizach domyślny górny limit liczby iteracji jest na ogół wystarczający. Jeśli problem trudny do zbieżności osiąga maksymalną liczbę iteracji bez zbieżności, najpierw zastosuj cutback (Sterowanie krokami); górny limit zwiększaj dopiero wtedy, gdy nie poprawia to zbieżności.
  • Kryteria zbieżności należy dobierać z uwzględnieniem równowagi między stabilnością analizy a czasem obliczeń. Ostrzejsze kryteria zwiększają dokładność równowagi, ale podnoszą liczbę iteracji. W analizach kontaktowych i analizach z mnożnikami Lagrange’a połączenie kryterium przyrostu przemieszczenia lub kryterium Lagrange’a z kryterium reszty może poprawić stabilność.
  • W przypadku parametrów całkowania w czasie w analizie dynamicznej (współczynników Newmarka-β) należy rozpocząć od standardowej kombinacji wartości i korygować je przy zmianie charakterystyki tłumienia numerycznego odpowiedzi drganiowej.
  • Dla schematu całkowania w czasie w nieustalonym przewodzeniu ciepła stosuj metodę Cranka-Nicolsona w problemach o gładkich zmianach temperatury, a metodę Eulera wstecznego, gdy ważniejsze są gwałtowne zmiany lub długookresowa stabilność.

Iteracja Newtona-Raphsona w analizie statycznej

W nieliniowej analizie statycznej równania równowagi zawierające nieliniowość geometryczną lub materiałową są rozwiązywane iteracyjnie metodą Newtona-Raphsona. Każda iteracja przebiega następująco.

  1. Oblicz wektor reszty \(\boldsymbol{R}\) dla bieżącego rozwiązania.
  2. Złóż styczną macierz sztywności \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Rozwiąż układ liniowy \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\), aby uzyskać poprawkę przemieszczenia \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Zaktualizuj rozwiązanie jako \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Porównaj z kryteriami zbieżności. Jeśli zbieżność została osiągnięta, zakończ iterację; w przeciwnym razie wróć do kroku 1.

Solver liniowy wykonuje rozwiązanie układu liniowego (krok 3). Wybór solvera i preconditionera opisano w Solverze i wstępnym uwarunkowaniu.

Sterowanie iteracją odbywa się za pomocą parametrów sterowania krokiem !STEP. Główne wartości sterujące są następujące.

Rola Parametr
Górny limit liczby iteracji. Jeśli limit zostanie osiągnięty bez zbieżności, podkrok podlega cutback. MAXITER
Kryterium zbieżności oparte na względnej normie reszty. CONVERG
Kryterium zbieżności oparte na stosunku normy poprawki przemieszczenia. Stosowane razem z kryterium reszty w celu poprawy stabilności. CONVERG_DDISP
Kryterium rozbieżności dla normy reszty. Iteracja jest przerywana po przekroczeniu tej wartości. MAXRES

Maksymalna liczba iteracji Newtona uwzględniana przy decyzjach o automatycznym przyroście i cutback w Sterowaniu krokami oznacza liczbę iteracji Newtona opisaną na tej stronie. Sterowanie automatycznym przyrostem zwiększa przyrost czasu po podkroku, który osiągnął zbieżność w niewielu iteracjach, i zmniejsza go po podkroku wymagającym wielu iteracji.

Iteracja kontaktu w analizie statycznej

W analizie kontaktowej stan kontaktu zmienia się w trakcie iteracji na skutek kontaktu, rozdzielenia i poślizgu na powierzchniach kontaktowych, dlatego iteracja Newtona jest łączona z aktualizacją stanu kontaktu. Struktura zależy od algorytmu rozwiązania kontaktu.

Oba algorytmy umieszczają pętlę wyszukiwania stanu kontaktu na najbardziej zewnętrznym poziomie. Przy każdym przejściu tej pętli stan kontaktu (kontakt/rozdzielenie) jest ponownie oceniany po osiągnięciu zbieżności przez wewnętrzną iterację Newtona. Jeśli stan się zmienił, struktura macierzy sztywności jest aktualizowana i wewnętrzna iteracja jest uruchamiana ponownie. Pętla kończy się, gdy stan kontaktu nie zmienił się względem poprzedniego przejścia i spełnione są kryteria zbieżności kontaktu (kryteria siły kontaktowej i mnożnika Lagrange’a). Górny limit liczby przejść określa MAXCONTITER w !STEP.

W przypadku kontaktu SLAGRANGE stopnie swobody kontaktu są włączane do układu liniowego standardową metodą mnożników Lagrange’a, co daje strukturę dwuwarstwową, w której iteracja Newtona znajduje się bezpośrednio wewnątrz pętli wyszukiwania stanu kontaktu. Iteracja rozszerzonego Lagrange’a nie występuje.

W przypadku kontaktu ALAGRANGE wewnątrz pętli wyszukiwania stanu kontaktu dodawana jest iteracja rozszerzonego Lagrange’a, a wewnątrz niej wykonywana jest iteracja Newtona, co daje strukturę trójwarstwową. W każdej iteracji rozszerzonego Lagrange’a więz kontaktowy jest ponownie oceniany z użyciem kombinacji składnika kary i mnożnika Lagrange’a, stopniowo zwiększając dokładność więzu. Górny limit liczby iteracji rozszerzonego Lagrange’a określa AUGITER w !CONTACT_ALGO.

Wartości sterujące iteracją kontaktu są następujące.

Rola Określone w
Górny limit liczby iteracji pętli wyszukiwania stanu kontaktu. Używany zarówno dla SLAGRANGE, jak i ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Górny limit liczby iteracji rozszerzonego Lagrange’a. Używany tylko dla ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Kryterium zbieżności poprawki mnożnika Lagrange’a. Stosowane razem z kryterium reszty w analizach z kontaktem. !STEP CONVERG_LAG

Liczba iteracji kontaktu uwzględniana w decyzjach o automatycznym przyroście w Sterowaniu krokami oznacza liczbę iteracji opisaną na tej stronie, włącznie z aktualizacjami stanu kontaktu. Analizy, w których kontakt i rozdzielenie występują często, zwykle wymagają większej liczby iteracji kontaktu, co wpływa również na decyzje o automatycznym przyroście i cutback. Typy kontaktu, definicje par i wybór algorytmu opisano w Kontakcie i osadzaniu. Sposób rozwiązania układu liniowego zawierającego stopnie swobody kontaktu opisano w Solverze i wstępnym uwarunkowaniu.

Całkowanie w czasie w analizie dynamicznej (metoda niejawna)

Metoda niejawna analizy dynamicznej wykorzystuje metodę Newmarka-β do powiązania przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w następnym czasie w każdym kroku czasowym oraz łączy te zależności z równaniem ruchu, aby wyznaczyć stan w czasie \(t + \Delta t\). Ograniczenie stabilności dla kroku czasu \(\Delta t\) jest łagodne, co pozwala efektywnie rozwiązywać odpowiedzi konstrukcji zdominowane przez składowe niskoczęstotliwościowe.

Stosowane są następujące dwa parametry całkowania w czasie.

Parametr Rola
\(\beta\) Współczynnik związany z interpolacją przemieszczenia w czasie.
\(\gamma\) Współczynnik związany z interpolacją prędkości w czasie.

Kombinacja \(\beta = 1/4\) i \(\gamma = 1/2\) jest nazywana metodą średniego przyspieszenia i stanowi standardowy wybór, bezwarunkowo stabilny i bez tłumienia numerycznego. Aby wprowadzić tłumienie numeryczne, należy wybrać \(\gamma\) większe niż \(1/2\). Matematyczne szczegóły kombinacji parametrów, stabilności i charakterystyk błędu znajdują się w podręczniku teoretycznym.

Gdy uwzględniona jest nieliniowość (geometryczna, materiałowa lub kontakt), w każdym kroku czasowym wykonywana jest iteracja Newtona; w jej ramach rozwiązywany jest układ liniowy i aktualizowany stan. Kryteria zbieżności wykorzystują CONVERG i powiązane wartości wspólne z analizą statyczną. W analizie dynamicznej z kontaktem w każdym kroku czasowym stosowana jest taka sama struktura iteracyjna jak w Iteracji kontaktu w analizie statycznej.

Krok czasu w analizie dynamicznej jest przede wszystkim sterowany warunkami czasowymi !STEP. Przy stałych przyrostach !STEP określa DTIME jako krok czasu oraz ETIME jako czas trwania kroku. Wartości n_step i t_delta z !DYNAMIC są traktowane jako wartości domyślne, gdy !STEP jest pominięte, oraz dla zgodności wstecznej. W nieliniowej metodzie niejawnej !STEP z INC_TYPE=AUTO włącza automatyczne przyrosty i cutback, zwiększając lub zmniejszając krok czasu zależnie od stanu iteracji Newtona i kontaktu. Niezależnie od użycia przyrostów stałych lub automatycznych krok czasu należy ustawiać z uwzględnieniem zarówno zbieżności, jak i wymaganej dokładności.

Całkowanie w czasie w analizie dynamicznej (metoda jawna)

Metoda jawna analizy dynamicznej wykorzystuje metodę różnic centralnych do bezpośredniego obliczenia stanu w następnym czasie wyłącznie na podstawie informacji o przemieszczeniu, prędkości i przyspieszeniu w poprzednim czasie. Ponieważ nie rozwiązuje się układu równań jednoczesnych, koszt obliczeń na krok jest niski. Nawet przy uwzględnieniu nieliniowości każdy krok czasowy jest jednostopniową aktualizacją bez iteracji Newtona.

Krok czasu ma górny limit narzucony przez warunek stabilności oparty na minimalnym okresie własnym układu (warunek CFL). Krok czasu przekraczający ten limit powoduje rozbieżność rozwiązania numerycznego, dlatego nie można stosować dużych kroków czasu takich jak w metodzie niejawnej. Metoda jawna jest korzystna dla zjawisk takich jak uderzenie, propagacja fal i kontakt przy dużych prędkościach, gdzie małe kroki czasu są z natury wymagane.

Gdy uwzględniony jest kontakt, do nakładania więzów kontaktowych stosowana jest metoda Forward Increment Lagrange. Siły kontaktowe są oceniane w sposób zgodny z jednostopniową aktualizacją metody jawnej.

Metoda rozwiązania analizy odpowiedzi częstotliwościowej

Analiza odpowiedzi częstotliwościowej bezpośrednio wyznacza okresową odpowiedź ustaloną w dziedzinie częstotliwości metodą superpozycji modalnej. Ocenia odpowiedź przy zmiennej częstotliwości wymuszenia i nie wymaga śledzenia historii czasowej poprzez iteracje. Nie wykonuje się ani iteracji nieliniowych, ani całkowania w czasie.

Przed wykonaniem analizy odpowiedzi częstotliwościowej należy przeprowadzić analizę modalną dla tego samego układu i wyznaczyć wymaganą liczbę postaci własnych. Obsługiwane są wyłącznie modele liniowe; analiza nie może być wykonywana przy włączonej nieliniowości geometrycznej lub materiałowej. Umiejscowienie tego typu analizy opisano w Typach analiz.

Postęp czasu i iteracja nieliniowa w nieustalonym przewodzeniu ciepła

Nieustalone przewodzenie ciepła ma własną pętlę czasu realizowaną w ramach !HEAT. Krok czasu jest sterowany ścieżką niezależną od !STEP i !AUTOINC_PARAM analizy strukturalnej, a gdy właściwości materiału zależą od temperatury, w każdym kroku czasu wykonywana jest iteracja nieliniowa.

Schemat całkowania w czasie wybiera się parametrem \(\beta\) słowa !HEAT.

\(\beta\) Schemat Charakterystyka
0.5 Metoda Cranka-Nicolsona Dokładność drugiego rzędu. Odpowiednia dla problemów o gładkich zmianach temperatury.
1.0 Metoda Eulera wstecznego Dokładność pierwszego rzędu. Bezwarunkowo stabilna i zapewnia stabilność w analizach długotrwałych oraz przy gwałtownych zmianach temperatury.

Krok czasu jest sterowany adaptacyjnie przez połączenie początkowego kroku czasu, minimalnego kroku czasu i maksymalnej zmiany temperatury na krok. Jeśli po obliczeniu kroku czasowego zmiana temperatury przekracza DELTMX, krok czasu jest zmniejszany i krok jest obliczany ponownie. Analiza jest przerywana, jeśli krok czasu spadnie poniżej minimalnego kroku czasu DTMIN.

Gdy właściwości materiału zależą od temperatury, w każdym kroku czasu wykonywana jest iteracja nieliniowa. Sterowanie iteracją odbywa się następująco.

Rola Parametr
Górny limit liczby iteracji nieliniowych. !HEAT ITMAX
Kryterium zbieżności. !HEAT EPS

Ustalone przewodzenie ciepła nie wykorzystuje kroków czasowych; iteracja nieliniowa jest wykonywana tylko wtedy, gdy właściwości materiału zależą od temperatury. Ponieważ sterowanie czasem analizy przewodzenia ciepła jest niezależne od !STEP analizy strukturalnej, przy dostosowywaniu kroku czasu należy sprawdzić ustawienia !HEAT.

Powiązane tematy