Przejdź do treści

Funkcje kształtu trójwymiarowych elementów bryłowych

W niniejszym rozdziale zestawiono naturalne układy współrzędnych oraz jawne postacie funkcji kształtu \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), wprowadzonych w Funkcjach kształtu i aproksymacji metodą elementów skończonych, dla trójwymiarowych elementów bryłowych stosowanych przez FrontISTR w analizie kontinuum. Obejmuje to sześć typów: elementy czworościenne pierwszego i drugiego rzędu (341, 342), graniastosłupy trójkątne pierwszego i drugiego rzędu (351, 352) oraz elementy sześciościenne pierwszego i drugiego rzędu (361, 362). Kolejność węzłów i numery ścian w formacie siatki HEC-MW opisano w rozdziale Biblioteka elementów w dokumentacji funkcji.

Procedura tworzenia całkowania elementu z tych funkcji kształtu i wyznacznika Jacobiego jest opisana w Całkowaniu numerycznym. Sformułowania B-bar, F-bar i niezgodne dla elementu 361 oraz funkcje kształtu elementów belkowych i powłokowych omówiono w Zaawansowanych sformułowaniach elementów.

Naturalne układy współrzędnych i wewnętrzna kolejność węzłów

Funkcje kształtu definiuje się w naturalnych współrzędnych \(\boldsymbol{r}\) właściwych dla danego elementu. Dla trójwymiarowych elementów bryłowych stosuje się następujące trzy rodzaje naturalnych układów współrzędnych, zależnie od kształtu elementu.

  • Element sześciościenny (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Element czworościenny (341, 342): współrzędne objętościowe \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Jako zmienne niezależne przyjmuje się \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), a \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Graniastosłup trójkątny (351, 352): współrzędne objętościowe trójkąta podstawy \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) są łączone ze współrzędną osiową \(\zeta \in [-1, 1]\), dając \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Wielkość pomocnicza \(a = 1 - \xi - \eta\) jest używana jako trzecia współrzędna objętościowa podstawy.

Dla elementów pierwszego rzędu numeracja węzłów jest taka sama w formacie wejściowym HEC-MW i w formacie wewnętrznym. Dla elementów drugiego rzędu konwencje kolejności węzłów pośrednich na krawędziach różnią się między tymi formatami. FrontISTR przyjmuje na wejściu format HEC-MW (po obejściu węzłów narożnych węzły pośrednie są podawane kolejno na krawędziach 1-2, 2-3, …), natomiast funkcje kształtu w bibliotece elementów są zaimplementowane przy założeniu innej kolejności węzłów.

Różnica między formatami jest eliminowana przez zmianę kolejności dla każdego elementu wykonywaną przez hecmw2fstr_mesh_conv, wywoływane bezpośrednio po odczytaniu siatki. Spośród trójwymiarowych elementów bryłowych konwersji podlegają następujące dwa typy.

Typ elementu Tabela konwersji Opis
342 (element czworościenny drugiego rzędu) Table342 Zmienia kolejność 10 węzłów na \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (graniastosłup trójkątny drugiego rzędu) Table352 Zmienia kolejność 15 węzłów na \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Ponieważ zmiana kolejności jest wykonywana bezpośrednio na tablicy przechowującej informacje o połączeniach elementów, wszystkie późniejsze wywołania biblioteki elementów używają wewnętrznej kolejności węzłów FrontISTR. Dla elementu sześciościennego drugiego rzędu 362 nie istnieje tabela konwersji, ponieważ kolejność węzłów pośrednich w formacie wejściowym HEC-MW i w formacie wewnętrznym FrontISTR jest taka sama. Podczas zapisu wyników wywoływana jest konwersja odwrotna fstr2hecmw_mesh_conv, która przywraca kolejność węzłów formatu HEC-MW przed zapisem, dlatego użytkownik musi uwzględniać wyłącznie format HEC-MW zarówno na wejściu, jak i na wyjściu. Numery węzłów funkcji kształtu przedstawionych poniżej odnoszą się do wewnętrznego formatu FrontISTR po konwersji.

Funkcje kształtu elementów pierwszego rzędu

Funkcje kształtu elementu czworościennego pierwszego rzędu (341) są samymi współrzędnymi objętościowymi:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Funkcje kształtu graniastosłupa trójkątnego pierwszego rzędu (351) są iloczynem liniowych funkcji kształtu trójkąta podstawy (\(a, \xi, \eta\)) i liniowych funkcji kształtu w kierunku osiowym (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Funkcje kształtu elementu sześciościennego pierwszego rzędu (361) są iloczynem tensorowym liniowych funkcji kształtu w trzech kierunkach osi:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Tutaj \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) oznacza wartości naturalnych współrzędnych węzła \(\alpha\) (każda składowa ma wartość \(\pm 1\)).

Funkcje kształtu elementów drugiego rzędu

Funkcje kształtu elementu czworościennego drugiego rzędu (342) dzielą się na cztery węzły narożne i sześć węzłów pośrednich na krawędziach:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Węzły pośrednie 5–10 odpowiadają odpowiednio środkom krawędzi 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 i 3-4.

Funkcje kształtu graniastosłupa trójkątnego drugiego rzędu (352) składają się z sześciu węzłów narożnych, sześciu węzłów pośrednich na krawędziach ścian trójkątnych oraz trzech węzłów pośrednich na krawędziach osiowych:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Węzły pośrednie 7–9 odpowiadają środkom krawędzi dolnego trójkąta (\(\zeta = -1\)), węzły 10–12 — środkom krawędzi górnego trójkąta (\(\zeta = +1\)), a węzły 13–15 — środkom krawędzi osiowych.

Element sześciościenny drugiego rzędu (362) jest 20-węzłowym elementem z rodziny serendipity. Niech naturalne współrzędne węzła \(\alpha\) będą oznaczone przez \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Dla węzłów narożnych (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), każda składowa ma wartość \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Dla węzłów pośrednich na krawędziach (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), jedna z trzech naturalnych współrzędnych jest równa \(0\), a pozostałe dwie są równe \(\pm 1\)), dla węzłów z \(\xi_\alpha = 0\) (krawędź jest skierowana wzdłuż osi \(\xi\))

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Węzły pośrednie na krawędziach skierowanych wzdłuż osi \(\eta\) i \(\zeta\) są opisane analogicznie, z odpowiednią naturalną współrzędną wyeliminowaną przez składnik kwadratowy.

Powiązane tematy