Przejdź do treści

Zasada prac wirtualnych

Na podstawie równania równowagi i warunków brzegowych wyprowadzonych w rozdziale Naprężenie i prawa zachowania wyprowadzamy zasadę prac wirtualnych, będącą słabą postacią zagadnienia brzegowego mechaniki ośrodków ciągłych. Dyskretyzacja metodą elementów skończonych rozpoczyna się od tej postaci słabej. W tym rozdziale przedstawiono zarówno postać w konfiguracji bieżącej (wyrażoną za pomocą naprężenia Cauchy'ego i liniowej części odkształcenia Almansiego), jak i postać w konfiguracji odniesienia (wyrażoną za pomocą drugiego naprężenia Pioli-Kirchhoffa i odkształcenia Greena-Lagrange'a), pokazano ich równoważność, a następnie potwierdzono przejście do małych deformacji.

Równanie równowagi i warunki brzegowe

Niech \(\boldsymbol{g}\) oznacza siłę masową działającą na ośrodek ciągły na jednostkę masy i rozważmy ciało zajmujące obszar \(\Omega\) w konfiguracji bieżącej. Brzeg \(\Gamma\) jest podzielony na brzeg geometryczny \(\Gamma_B\), na którym przemieszczenie jest zadane jako \(\bar{\boldsymbol{u}}\), oraz brzeg mechaniczny \(\Gamma_t\), na którym zadane jest obciążenie powierzchniowe \(\bar{\boldsymbol{t}}\), przy czym \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) oraz \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Dla zagadnienia statycznego równanie równowagi otrzymuje się przez pominięcie członu bezwładnościowego w prawie zachowania pędu przedstawionym w Naprężeniu i prawach zachowania:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{w} \ \Omega \]

Warunki brzegowe mają postać

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

W dalszej części zasada prac wirtualnych jest wyprowadzana jako słaba postać równania równowagi i mechanicznego warunku brzegowego \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Geometryczny warunek brzegowy \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) jest uwzględniany poprzez wybór funkcji testowej.

Postać słaba w konfiguracji bieżącej

W postaci słabej przestrzeń dopuszczalnych przemieszczeń niewiadomych i przestrzeń funkcji testowych definiuje się odpowiednio jako

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]

Tutaj \(d\) jest wymiarem przestrzeni, \(H^1(\Omega)\) jest przestrzenią Sobolewa funkcji całkowalnych z kwadratem wraz z ich pierwszymi słabymi pochodnymi, a \(\delta\) oznacza wariację. W opisie w konfiguracji bieżącej \(\Omega\) jest konfiguracją zdeformowaną; w rzeczywistym rozwiązaniu numerycznym jest ona odwzorowywana wstecz do konfiguracji odniesienia lub do znanej konfiguracji pośredniej.

Mnożąc równanie równowagi przez funkcję wagową \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) oraz stosując twierdzenie Gaussa o dywergencji i mechaniczny warunek brzegowy, otrzymuje się następującą zasadę prac wirtualnych w konfiguracji bieżącej.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Tutaj \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) jest liniową częścią tensora odkształcenia Almansiego, zdefiniowaną jako

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Jej wariacja wynosi \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Poszukuje się więc \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) takiego, aby równanie prac wirtualnych było spełnione dla każdego \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Lewa strona jest pracą wirtualną sił wewnętrznych, natomiast prawa strona jest pracą wirtualną sił zewnętrznych pochodzących od zadanego obciążenia powierzchniowego i siły masowej.

Ponieważ równanie zapisano na zdeformowanym obszarze (konfiguracji bieżącej), rzeczywista procedura rozwiązania ponownie wybiera konfigurację początkową \(\Omega_0\) (konfigurację odniesienia) lub znaną konfigurację pośrednią jako konfigurację odniesienia, przepisuje równanie do postaci przyrostowej, a następnie je rozwiązuje. Szczegóły wyboru konfiguracji odniesienia (Total Lagrange / Updated Lagrange) oraz dekompozycji przyrostowej podano w Ramach analizy przyrostowej.

Postać słaba w konfiguracji początkowej

Rozważmy ciało zajmujące obszar \(\Omega_0\) w konfiguracji odniesienia, którego brzeg \(\Gamma_0\) jest podzielony na \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Odwzorowanie opisu z konfiguracji bieżącej do konfiguracji odniesienia prowadzi do sprzężonej pary naprężenie–odkształcenie: drugiego naprężenia Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) i odkształcenia Greena-Lagrange'a \(\boldsymbol{E}\). Zasada prac wirtualnych w konfiguracji początkowej ma wtedy postać

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Tutaj \(\rho_0\) jest gęstością masową w konfiguracji odniesienia, a zgodnie z zależnością zachowania masy \(\rho_0 = J\rho\) wyrażenie to jest równoważne reprezentacji siły masowej w konfiguracji bieżącej.

Równoważność reprezentacji w konfiguracji bieżącej i początkowej

Praca wirtualna sił wewnętrznych w obu reprezentacjach jest zgodna dzięki transformacji przez gradient deformacji \(\boldsymbol{F}\) i stosunek objętości \(J = \det \boldsymbol{F}\), mianowicie

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Człony sił zewnętrznych są również równoważne dzięki zachowaniu masy i transformacji obciążenia powierzchniowego. Dlatego równanie prac wirtualnych w konfiguracji bieżącej i równanie w konfiguracji początkowej wyrażają tę samą zasadę w różnych konfiguracjach. Metoda rozwiązania odnosząca się do konfiguracji odniesienia odpowiada metodzie Total Lagrange, natomiast metoda odnosząca się do konfiguracji bieżącej (bezpośrednio poprzedzającej konfiguracji zbieżnej) odpowiada metodzie Updated Lagrange.

Redukcja do małych deformacji

Przy założeniu małych deformacji \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) i \(J \approx 1\) rozróżnienie między konfiguracją bieżącą a konfiguracją odniesienia zanika, drugie naprężenie PK pokrywa się z naprężeniem Cauchy'ego (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), a zarówno odkształcenie Greena-Lagrange'a, jak i liniowa część odkształcenia Almansiego redukują się do odkształcenia małego \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Zasada prac wirtualnych redukuje się wtedy do postaci słabej wyrażonej przez naprężenie Cauchy'ego \(\boldsymbol{\sigma}\) i odkształcenie małe \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

Jest to postać słaba używana bezpośrednio do dyskretyzacji w liniowej statycznej analizie sprężystej przy małych deformacjach (Liniowa statyczna analiza sprężysta (wprowadzenie i dodatek) rozpoczyna się od tej postaci i pokazuje konstrukcję sztywności elementu \(\boldsymbol{K}^e\) aż do złożenia równania globalnego \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Po podstawieniu liniowo sprężystego prawa konstytutywnego \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) i zapisaniu \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) w notacji Voigta, postać słaba przyjmuje postać

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

czyli tę postać.

Tematy powiązane