انتقل إلى المحتوى

مبدأ الشغل الافتراضي

استناداً إلى معادلة الاتزان وشروط الحدود المشتقة في الإجهاد وقوانين الحفظ، نشتق مبدأ الشغل الافتراضي، وهو الصيغة الضعيفة لمسألة القيم الحدية في ميكانيكا الأوساط المتصلة. يبدأ التقسيم بطريقة العناصر المحدودة من هذه الصيغة الضعيفة. يعرض هذا الفصل كلاً من صيغة التكوين الحالي (باستخدام إجهاد Cauchy والجزء الخطي من انفعال Almansi) وصيغة التكوين المرجعي (باستخدام إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني وانفعال Green-Lagrange)، ويوضح تكافؤهما، ثم يؤكد الاختزال إلى حالة التشوه الصغير.

معادلة الاتزان وشروط الحدود

لتكن \(\boldsymbol{g}\) قوة الجسم المؤثرة في الوسط المتصل لكل وحدة كتلة، ولنعتبر جسماً يشغل المجال \(\Omega\) في التكوين الحالي. تُقسم الحدود \(\Gamma\) إلى الحد الهندسي الذي تُفرض عليه الإزاحة \(\bar{\boldsymbol{u}}\)، وهو \(\Gamma_B\)، والحد الميكانيكي الذي تُفرض عليه قوة السطح \(\bar{\boldsymbol{t}}\)، وهو \(\Gamma_t\)، بحيث \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) و\(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). في المسألة الساكنة، تُستخرج معادلة الاتزان بحذف حد العطالة من قانون حفظ كمية الحركة الموضح في الإجهاد وقوانين الحفظ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

شروط الحدود هي

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

فيما يلي، يُشتق مبدأ الشغل الافتراضي بوصفه الصيغة الضعيفة لمعادلة الاتزان وشرط الحد الميكانيكي \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). ويُدمج شرط الحد الهندسي \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) من خلال اختيار دالة الاختبار.

الصيغة الضعيفة في التكوين الحالي

في الصيغة الضعيفة، نعرّف فضاء الحل المقبول للإزاحة المجهولة وفضاء دوال الاختبار، على الترتيب، كما يلي

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

هنا، \(d\) هو البعد المكاني، و\(H^1(\Omega)\) هو فضاء Sobolev للدوال القابلة للتكامل تربيعياً مع مشتقاتها الضعيفة الأولى، و\(\delta\) يرمز إلى التغاير. في تمثيل التكوين الحالي، تمثل \(\Omega\) التكوين المشوه؛ وفي الحل العددي الفعلي، تُسحب إلى التكوين المرجعي أو إلى تكوين وسيط معلوم.

بضرب معادلة الاتزان في الوزن \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) وتطبيق مبرهنة التباعد لـ Gauss وشرط الحد الميكانيكي، نحصل على مبدأ الشغل الافتراضي التالي في التكوين الحالي.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

هنا، \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) هو الجزء الخطي من موتر انفعال Almansi، ويُعرّف كما يلي

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

وتغايره هو \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). ومن ثم نبحث عن \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) بحيث تتحقق معادلة الشغل الافتراضي لكل \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). يمثل الطرف الأيسر الشغل الافتراضي للقوى الداخلية، بينما يمثل الطرف الأيمن الشغل الافتراضي للقوى الخارجية الناتجة عن قوة السطح المفروضة وقوة الجسم.

ولأن هذه المعادلة مكتوبة على المجال المشوه (التكوين الحالي)، فإن إجراء الحل الفعلي يعيد اختيار التكوين الابتدائي \(\Omega_0\) (التكوين المرجعي) أو تكوين وسيط معلوم باعتباره التكوين المرجعي، ويعيد كتابة المعادلة بصيغة تزايدية ثم يحلها. راجع إطار التحليل التزايدي بشأن الاختيار المحدد للتكوين المرجعي (Total Lagrange / Updated Lagrange) والتفكيك التزايدي.

الصيغة الضعيفة في التكوين الابتدائي

لنعتبر جسماً يشغل المجال \(\Omega_0\) في التكوين المرجعي، وحدوده \(\Gamma_0\) مقسمة إلى \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). يؤدي سحب تمثيل التكوين الحالي إلى التكوين المرجعي إلى زوج الإجهاد-الانفعال المترافق المكوّن من إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). ومن ثم يكون مبدأ الشغل الافتراضي في التكوين الابتدائي

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

هنا، \(\rho_0\) هي كثافة الكتلة في التكوين المرجعي، وبحسب علاقة حفظ الكتلة \(\rho_0 = J\rho\)، فإن هذا مكافئ لتمثيل قوة الجسم في التكوين الحالي.

تكافؤ تمثيلي التكوين الحالي والابتدائي

يتطابق الشغل الافتراضي للقوى الداخلية في التمثيلين عبر التحويل بتدرج التشوه \(\boldsymbol{F}\) ونسبة الحجم \(J = \det \boldsymbol{F}\)؛ أي

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

كما تتكافأ حدود القوى الخارجية بفعل حفظ الكتلة وتحويل قوة السطح. لذلك، تعبر معادلة الشغل الافتراضي في التكوين الحالي وتلك في التكوين الابتدائي عن المبدأ نفسه في تكوينين مختلفين. طريقة الحل التي تشير إلى التكوين المرجعي تقابل طريقة Total Lagrange، بينما طريقة الحل التي تشير إلى التكوين الحالي (التكوين المتقارب السابق مباشرة) تقابل طريقة Updated Lagrange.

الاختزال إلى التشوه الصغير

تحت فرضيتي التشوه الصغير \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) و\(J \approx 1\)، يختفي الفرق بين التكوينين الحالي والمرجعي، ويتطابق إجهاد PK الثاني مع إجهاد Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))، ويُختزل كل من انفعال Green-Lagrange والجزء الخطي من انفعال Almansi إلى الانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

وعندئذ يُختزل مبدأ الشغل الافتراضي إلى الصيغة الضعيفة المعبر عنها بإجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) والانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

هذه هي الصيغة الضعيفة المستخدمة مباشرة في التقسيم للتحليل الساكن الخطي المرن (التحليل الساكن الخطي المرن (مقدمة وملحق) يبدأ من هذه الصيغة ويعرض إنشاء صلابة العنصر \(\boldsymbol{K}^e\) من خلال تجميع المعادلة العامة \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

وبالتعويض عن قانون التكوين المرن الخطي \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) وكتابة \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) باستخدام ترميز Voigt، تصبح الصيغة الضعيفة

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

وهي بهذه الصورة.

موضوعات ذات صلة