انتقل إلى المحتوى

الزحف

يصف هذا الفصل قانون الزحف التأسيسي المعتمد في FrontISTR. للحصول على تفاصيل حول الاختيار ومواصفات الإدخال، راجع قسم الوظائف 03_material.

ظاهرة الزحف والتفكيك الجمعي للانفعال

تُسمّى الإزاحة المعتمدة على الزمن تحت شرط إجهاد ثابت بظاهرة "الزحف".

يمكن أيضًا اعتبار السلوك اللزج المرن الموصوف أعلاه نوعًا من ظواهر الزحف الخطي. يُوصَف هنا عدد من سلوكيات الزحف غير الخطية. ومن الأساليب الشائعة صياغة العلاقة التأسيسية بإضافة هذا السلوك إلى الانفعال الذي يحدث لحظيًا، وتعريف الانفعال المتراكم أثناء استمرار حمل ثابت معيّن بوصفه انفعال الزحف \(\varepsilon^c\). تُعبَّر العلاقة التأسيسية التي تتضمن الزحف عادةً باستخدام معدل انفعال الزحف \(\dot{\varepsilon}^c\)، المعرَّف بوصفه دالة في الإجهاد وإجمالي انفعال الزحف.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

إذا كان الانفعال الذي يحدث لحظيًا هو الانفعال المرن \(\varepsilon^e\)، فإن الانفعال الكلي يُعبَّر عنه بالمجموع التالي الذي يتضمن انفعال الزحف.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

حيث

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) هو موتر المرونة).

قانون Norton

كقانون تأسيسي محدد للزحف، يعتمد FrontISTR نموذج Norton التالي. في هذا القانون التأسيسي، يُعبَّر عن معدل انفعال الزحف المكافئ \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) بوصفه دالة في إجهاد von Mises ‏\(q\) والزمن \(t\) كما يلي.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

حيث إن \(A\) و\(m\) و\(n\) ثوابت مادية.

التكامل الزمني وتحديث الإجهاد

كما في المواد اللدنة، يجب تحديد طريقة تكامل زمني عددية لقانون تأسيسي يُظهر الزحف. تكون العلاقة التأسيسية عند أخذ الزحف في الاعتبار كما يلي:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

حيث إن \(\beta_{n+\theta}\) هو

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

ثم تُعرَّف زيادة انفعال الزحف \(\Delta \varepsilon^c\) بالمعادلة غير الخطية المبسطة التالية:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

ويُشترط أن تساوي صفرًا.

في تكرار Newton-Raphson، مع اتخاذ \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) إجهادًا ابتدائيًا واستخدام زيادة الانفعال المحسوبة بطريقة العناصر المحدودة، يُعطى الحل التكراري والزيادة كما يلي:

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

حيث

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

ومع عند التكرار حتى يصبح المتبقي \(R\) مساويًا لـ \(\mathbf{0}\)، يُستخدم الإجهاد \(\sigma_{n+1}\) ومعامل المماس

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

موضوعات ذات صلة