التحليل النمطي¶

مسألة القيم الذاتية المعممة¶

لتحليل الاهتزاز الحر لوسط متصل، يُقسَّم المجال مكانياً ويُمثَّل كنظام متعدد درجات الحرية من كتل مركزة، كما هو مبين في الشكل 2.3.1. بالنسبة لمسألة اهتزاز حر غير مخمد، تكون المعادلة الحاكمة (معادلة الحركة) كما يلي.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

هنا، $u$ هو متجه الإزاحة المعمم، و$M$ هي مصفوفة الكتلة، و$K$ هي مصفوفة الصلابة. لتكن $\omega$ هي التردد الزاوي الطبيعي، ولتكن $a$ و$b$ و$c$ ثوابت اعتباطية، ولتكن $x$ متجهاً. نعرّف الدالة

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

المشتقة الثانية لهذا التعبير هي

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

بالتعويض بهذه التعبيرات في المعادلة $\eqref{eq:2.3.1}$ نحصل على

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

أي إنه يتم الحصول على

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

وبذلك نحصل عليها.

وبالتالي، إذا أمكن إيجاد المعامل $\lambda = \omega^2$ والمتجه $x$ اللذين يحققان المعادلة $\eqref{eq:2.3.5}$، فإن الدالة $u(t)$ تكون حلاً للمعادلة $\eqref{eq:2.3.1}$.

يُسمى المعامل $\lambda$ قيمة ذاتية، ويُسمى المتجه $x$ متجهاً ذاتياً. وتُسمى مسألة تحديدهما من المعادلة $\eqref{eq:2.3.1}$ مسألة القيم الذاتية المعممة.

مثال لنظام متعدد درجات الحرية في اهتزاز حر غير مخمد

الشكل 2.3.1 مثال لنظام متعدد درجات الحرية في اهتزاز حر غير مخمد

خصائص المصفوفات والافتراضات¶

بالنسبة لمسألة القيم الذاتية المعممة $K x = \lambda M x$ الناتجة في القسم السابق، يفترض هذا الدليل خصائص المصفوفات التالية. وتشكل هذه الافتراضات أساس تقارب ونطاق تطبيق طريقتي التكرار العكسي مع الإزاحة وLanczos الموضحتين أدناه. بالنسبة للمصفوفة المركبة، يكون المنقول هو المرافق المركب، بينما تكون المصفوفة الحقيقية متناظرة. وعلى وجه التحديد، بالنسبة للمصفوفة $K$، إذا كان عنصرها $ij$ هو $k_{ij}$، ورمز للمرافق المركب لـ $k$ بـ $\bar{k}$، فإن

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

تتحقق العلاقة التالية.

يفترض هذا الدليل أن المصفوفات متناظرة وموجبة التعريف. والمقصود بموجبة التعريف أن جميع القيم الذاتية موجبة؛ وبصورة مكافئة، تحقق المصفوفة دائماً المعادلة $\eqref{eq:2.3.7}$ أدناه.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

التكرار العكسي مع الإزاحة¶

في التحليل الإنشائي بطريقة العناصر المحدودة، لا تكون جميع القيم الذاتية مطلوبة عادةً من الناحية العملية؛ ففي كثير من الحالات تكفي بضع قيم ذاتية للأنماط الدنيا. صُمم HEC-MW للمسائل واسعة النطاق، حيث تكون المصفوفات كبيرة ومتناثرة جداً (تحتوي على عدد كبير من العناصر الصفرية). لذلك من المهم حساب القيم الذاتية للأنماط الدنيا بكفاءة مع مراعاة هذه الخاصية.

لتكن $\sigma$ الحد الأدنى للقيم الذاتية. عندئذ يمكن تحويل المعادلة $\eqref{eq:2.3.5}$ إلى الصيغة المكافئة رياضياً التالية.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

لهذا التحويل الخصائص المفيدة التالية للحساب.

ينعكس ترتيب الأنماط.
تُحوَّل القيم الذاتية القريبة من $\rho$ إلى أكبر القيم.

في الحساب الفعلي، غالباً ما تُستخرج أكبر القيم الذاتية أولاً. لذلك، بدلاً من المعادلة $\eqref{eq:2.3.5}$، يُطبق حساب التقارب الرئيسي على المعادلة $\eqref{eq:2.3.8}$، بهدف الحصول أولاً على القيم الذاتية القريبة من $\rho$. وتُسمى هذه التقنية التكرار العكسي مع الإزاحة.

طريقة Lanczos¶

سبب الاستخدام (مقارنة مع طريقة Jacobi)¶

من بين الطرق الكلاسيكية، تُعرف طريقة Jacobi جيداً.

تكون هذه الطريقة فعالة عندما تكون المصفوفة صغيرة وكثيفة. ولكن بما أن المصفوفات التي يعالجها HEC-MW كبيرة ومتناثرة، فلا تُستخدم طريقة Jacobi؛ بل تُستخدم طريقة Lanczos التكرارية.

الخوارزمية والخصائص¶

اقترح C. Lanczos هذه الطريقة في خمسينيات القرن العشرين، وهي خوارزمية لاختزال مصفوفة إلى صيغة ثلاثية الأقطار ولها الخصائص التالية.

هي طريقة تقارب تكرارية ويمكنها الاستمرار مع إبقاء المصفوفة متناثرة.
تتكون الخوارزمية أساساً من عمليات ضرب المصفوفة في متجه، ولذلك فهي مناسبة جداً للموازاة.
تناسب تقسيم المجال الهندسي المرتبط بشبكات العناصر المحدودة.
يمكن إجراء الحساب بكفاءة عن طريق حصر عدد القيم الذاتية ونطاق الأنماط المطلوب استخراجها.

تبدأ طريقة Lanczos من متجه ابتدائي، ثم تولد متجهات متعامدة تباعاً، وتبني أساساً لفضاء جزئي. ويقال إنها أسرع من طريقة الفضاء الجزئي، وهي طريقة تكرارية أخرى، وتُستخدم على نطاق واسع في برامج العناصر المحدودة. غير أن هذه الطريقة حساسة للأخطاء العددية التي قد تدمر تعامد المتجهات وقد تؤدي إلى انهيار الحساب. لذلك تُعد تدابير مواجهة هذه الأخطاء العددية ضرورية.

التفسير الهندسي (فضاء Krylov الجزئي)¶

بإدخال تغيير المتغيرات التالي في المعادلة $\eqref{eq:2.3.8}$،

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

يمكن إعادة كتابة المسألة على الصورة

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

وبذلك نحصل عليها.

بالنسبة لمتجه مناسب $q_0$، نطبق التحويل الخطي الذي تمثله المصفوفة $A$ (راجع الشكل 2.3.2).

$التحويل الخطي للمتجه $q_0$ بواسطة المصفوفة $A$$

الشكل 2.3.2 التحويل الخطي للمتجه $q_0$ بواسطة المصفوفة $A$

يُعامد المتجه المحول داخل الفضاء المولَّد مع المتجه الأصلي. أي تُجرى عملية تعامد Gram-Schmidt كما هو موضح في الشكل 2.3.2. لنسمِّ المتجه الناتج $r_1$. نطبّعه إلى طول واحد للحصول على $q_1$ (الشكل 2.3.3). ومن $q_1$، نحصل على $q_2$ بالإجراء نفسه. عند هذه النقطة يكون $q_2$ متعامداً مع كل من $q_1$ و$q_0$ (الشكل 2.3.4). وباستمرار الحساب نفسه نحصل على متجهات متعامدة فيما بينها حتى رتبة المصفوفة.

$متجه متعامد مع $q_0$: $q_1$$

الشكل 2.3.3 متجه متعامد مع $q_0$: $q_1$

$متجه متعامد مع $q_1$ و$q_0$: $q_2$$

الشكل 2.3.4 متجه متعامد مع $q_1$ و$q_0$: $q_2$

على وجه الخصوص، تطبق خوارزمية Lanczos على سلسلة المتجهات $A q_0$، $A q_1$، $A q_2$

أو بصورة مكافئة $A q_0$، $A^2 q_0$، $A^3 q_0$، ،$A^n q_0$

باستخدام تعامد Gram-Schmidt. تُسمى سلسلة المتجهات هذه سلسلة Krylov، ويُسمى الفضاء الذي تولده فضاء Krylov الجزئي. وعند إجراء تعامد Gram-Schmidt في هذا الفضاء، يمكن الحصول على كل متجه جديد باستخدام أحدث متجهين. ويُسمى ذلك مبدأ Lanczos.

الاختزال إلى مصفوفة ثلاثية الأقطار¶

في التكرار أعلاه، يمكن كتابة حساب المتجه ذي الرتبة (i+1) كما يلي

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

حيث

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

وباستخدام ترميز المصفوفات تصبح

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

حيث

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

وهكذا تُستخرج القيم الذاتية بحل مسألة القيم الذاتية للمصفوفة ثلاثية الأقطار الناتجة من المعادلة $\eqref{eq:2.3.13}$.

موضوعات ذات صلة¶

تحليل الاستجابة الترددية — الاستجابة الترددية باستخدام نتائج التحليل النمطي
أنواع التحليل — نظرة عامة وظيفية على التحليل النمطي