انتقل إلى المحتوى

معادلة التوصيل الحراري

يلخص هذا الفصل المعادلة الحاكمة للتوصيل الحراري الذي يعالجه FrontISTR على مستوى الوسط المتصل، إلى جانب شروطه الحدّية. أما التقطيع الزمني وتقطيع FEM فتُحال إلى قسم التقطيع (L3d) وقسم خوارزميات الحل (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

المعادلة الحاكمة

تُعطى معادلة التوصيل الحراري في وسط متصل كما يلي.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

هنا، تشير \(\rho=\rho(x)\) إلى كثافة الكتلة، و\(c=c(x,T)\) إلى الحرارة النوعية، و\(T=T(x,t)\) إلى درجة الحرارة، و\(k=k(x,T)\) إلى الموصلية الحرارية، و\(Q=Q(x,T,t)\) إلى توليد الحرارة، و\(x\) إلى الموضع، و\(t\) إلى الزمن. أما \(k_x, k_y, k_z\) فهي الموصلية الحرارية في الاتجاهات المقابلة للتوصيل الحراري المتباين.

للحصول على تفاصيل الخواص الحرارية، بما في ذلك الاعتماد على درجة الحرارة والتباين، راجع الخواص الحرارية.

شروط الحدود

لنرمز إلى المجال قيد النظر بـ \(S\)، وإلى حدوده بـ \(\Gamma\). بافتراض أن شرطًا حدّيًا من نوع Dirichlet أو Neumann مفروض في كل موضع على \(\Gamma\)، تُعطى شروط الحدود كما يلي.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

هنا، يُفترض أن الشكلين الداليين لـ \(T_1\) و\(q\) معلومَان. و\(q\) هو تدفق الحرارة الخارج من الحد. يتكون تدفق الحرارة الحدّي \(q\) من المكونات الثلاثة التالية.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

هنا، \(q_s\) هو تدفق الحرارة الموزع، و\(q_c\) هو تدفق الحرارة الناتج من انتقال الحرارة بالحمل، و\(q_r\) هو تدفق الحرارة الناتج من انتقال الحرارة بالإشعاع.

كما أن \(Tc=Tc(x,t)\) هي درجة حرارة الوسط المحيط لانتقال الحرارة بالحمل، و\(hc=hc(x,t)\) معامل انتقال الحرارة بالحمل، و\(Tr=Tr(x,t)\) درجة حرارة الوسط المحيط لانتقال الحرارة بالإشعاع، و\(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) معامل انتقال الحرارة بالإشعاع، و\(\varepsilon\) الانبعاثية، و\(\sigma\) ثابت Stefan-Boltzmann، و\(F\) عامل الرؤية.

لمعرفة كيفية تحديد هذه الشروط في ملف الإدخال، راجع شروط الحدود والأحمال في مرجع الوظائف.

الصيغة الضعيفة

الاقتران مع التحليل الإنشائي

موضوعات ذات صلة